基礎から学ぶエネルギーネットワーク工学-2.7.2-5

基礎から学ぶエネルギーネットワーク工学

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　2.7.2　対称座標法-(4)二線地絡故障-2

　以降の計算ではベクトルの・（ドット）の表記は省略している。

            図2.7.5　二線地絡故障（抵抗$R$あり）
図に示すように、$V_b=V_c=R(I_b+I_c),I_a=0$という条件より、
$V_b=V_c$より、
$V_b=V_0+a^2 V_1+aV_2=0$・・・①
$V_c=V_0+aV_1+a^2 V_2=0$・・・②
①-②=0
$(a^2-a)(V_1-V_2)=0$
$a^2-a \neq 0$より、
$V_1=V_2$
①より、
$V_0+a^2 V_1+aV_1=R(I_b+I_c)$
$V_0+(a+a^2)V_1=R(I_b+I_c)$
$1+a+a^2=0$より、
$V_0-V_1=R(I_b+I_c)$
ここで、

$ \begin{eqnarray}  \left \lbrace     \begin{array}{l}  \dot{I}_a=\dot{I}_0+\dot{I}_1+\dot{I}_2 ~~~~\\ \dot{I}_b=\dot{I}_0+a^2 \dot{I}_1+a \dot{I}_2 \\ \dot{I}_c=\dot{I}_0+a \dot{I}_1+a^2 \dot{I}_2 \end{array}  \right. \end{eqnarray}$

$I_a=0$より、
$I_a+I_b+I_c=I_b+I_c$
$=I_0+I_1+I_2+I_0+a^2 I_1+a I_2+I_0+a^2 I_1+aI_2$
$=3I_0+(1+a+a^2)I1+(1+a+a^2)I_2$
$1+a+a^2=0$より、
$=3I_0$
よって、
$V_0=V_1+3R I_0$
発電機の式から
$V_1+3RI_0=-Z_0 I_0$

$I_0=-\dfrac{V_1} { 3 R+Z_0 }$

$I_1=\dfrac{E_a-V_1}{ Z_1 }$

$I_2=-\dfrac{V_1}{ Z_2 }$

これらの式を$I_a=0$に代入すると、

$I_a=I_0+I_1+I_2=-\dfrac{V_1} { 3 R+Z_0 }+\dfrac{E_a-V_1}{ Z_1 }-\dfrac{V_1}{ Z_2 }=0$

$\dfrac{(3 R+Z_0)Z_1 +(3 R+Z_0) Z_2+Z_1 Z_2}  { (3 R+Z_0)Z_1 Z_2 }V_1=\dfrac{E_a}{ Z_1 }$

$V_1=\dfrac{(3 R+Z_0) Z_2 E_a}  {(3 R+Z_0)Z_1 +(3 R+Z_0) Z_2+Z_1 Z_2}$

$\Delta= {(3 R+Z_0)Z_1 +(3 R+Z_0) Z_2+Z_1 Z_2}$

$I_0=-\dfrac{Z_2 E_a} { \Delta }$

$I_1=\dfrac{E_a} { Z_1 }-\dfrac{1}  { Z_1 }\dfrac{(3 R+Z_0) Z_2 E_a}  {(3 R+Z_0)Z_1 +(3 R+Z_0) Z_2+Z_1 Z_2}$

$=\dfrac{3 R+Z_0 + Z_2 } {\Delta}E_a$

$I_2=-\dfrac {3R+Z_0 } {\Delta}E_a$

よって、

$I_b=I_0+a^2 I_1+a I_2$

$=-\dfrac{ Z_2  E_a}{ \Delta}+a^2 \dfrac{(3R+Z_0 + Z_2)E_a }{  \Delta}- a \dfrac{ (3R+Z_0)  E_a}{ \Delta}$
$=\dfrac{(a^2-a)(3 R+Z_0) +(a^2-1)Z_2}{ \Delta}E_a$

$I_c=I_0+a I_1+a^2 I_2$

$=-\dfrac{ Z_2  E_a}{ \Delta}+a \dfrac{(3 R+Z_0 + Z_2)E_a }{  \Delta}- a^2 \dfrac{(3 R+ Z_0)  E_a}{ \Delta}$
$=\dfrac{(a-a^2)(3 R+Z_0)+(a-1)Z_2}{ \Delta}E_a$

$V_a=V_0+V_1+V_2$
ここで、$V_0=V_1+3RI_0,~V_1=V_2$より、
$=3V_1+3R I_0$

$V_a=3V_1+3 RI_0=\dfrac{3(3 R+Z_0) Z_2 E_a} {\Delta}-\dfrac {3 R Z_2 E_a} {\Delta}$

$=\dfrac{(2 R +3 Z_0) Z_2 }  {\Delta}E_a$

$V_b=V_c=R(I_b+I_c)$より、

$V_b=V_c=\left( \dfrac{(a^2-a)(3 R+Z_0) +(a^2-1)Z_2+(a-a^2)(3 R+Z_0)+(a-1)Z_2}{\Delta} \right) R E_a$

$=\left( \dfrac{(a^2+a-2)Z_2}{ \Delta} \right) R E_a$

$-\dfrac{3RZ_2}{\Delta}E_a $