電験三種 理論 基礎力向上テキスト-58

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そちらも見て下さい。 

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オペアンプを用いたローパスフィルタ-2
　

　良く用いられるVCVS型フィルタ（二次遅れ系）について、見てみましょう。

図4.4.1　オペアンプを用いたローパスフィルタ（非反転）

　$R_1$と$R_2$間の電圧を$V_{R1}$とし、$R_1$を流れる電流を$i_1$、$R_2$を流れる電流を$i_2$、$C_2$を流れる電流を$i_3$とすると、

$i_1=i_2+i_3$より、
$\dfrac{V_i-V_{R1}}{R_1}=\dfrac{V_{R1}-V_{+}}{R_2}+j \omega C_2(V_{R1}-V_o)$        ・・・(4.25)

$V_{+}$には電流は流れないので、
$i_2=\dfrac{V_{R1}-V_{+}}{R_2}=j \omega C_1 V_{+}$            ・・・(4.26)

$V_{+}=V_{-}=V_o$より、
式(4.26)を変形すると
$V_{R1}=(1+j \omega C_1 R_2)V_o$                ・・・(4.27)
式(4.25)を変形すると
$R_2(V_i-V_{R1})=R_1(V_{R1}-V_o)+j \omega C_2 R_1 R_2(V_{R1}-V_o)$

式(4.27)を代入すると
$R_2(V_i-(1+j \omega C_1 R_2) V_o)$
$=R_1((1+j \omega C_1 R_2)V_o-V_o)+j \omega C_2 R_1 R_2((1+j \omega C_1 R_2)V_o-V_o)$
$R_2(V_i-(1+j \omega C_1 R_2)V_o)=j \omega C_1 R_1 R_2 V_o- \omega C_1 C_2 R_1 R_2^2 V_o$
$V_i-(1+j \omega C_1 R_2)V_o=j \omega C_1 R_1 V_o- \omega^ 2 C_1C_2 R_1 R_2 V_o$

$V_i={- \omega ^2 C_1 C_2 R_1 R_2+j  \omega (R_1+R_2)C_1+1}V_o$
よって、周波数伝達関数は次式となります。
$\dfrac{V_o}{V_i}=\dfrac{1}{- \omega ^2 C_1 C_2 R_1 R_2+j  \omega (R_1+R_2)C_1+1}$   ・・・(4.28)
伝達関数の$s$に$j \omega$を代入した式が周波数伝達関数ですので、伝達関数は次式となります。
$G(s)=\dfrac{1}{s^2 C_1 C_2 R_1 R_2+s (R_1+R_2)C_1+1}$        ・・・(4.29)
ここで、$R_1=R_2=R$、$C_1=C_2=C$とおくと、
$G(s)=\dfrac{1}{s^2 C^2 R^2+2 s R C+1}=\dfrac{1}{(sCR+1)^2}$    ・・・(4.30)
よって、時定数$T=CR$の2次遅れ系となり、折れ点周波数（カットオフ周波数）は$\omega=\dfrac{1}{CR}$となる。

ボード線図を描いてみます。
        

                        (a)ゲイン曲線

                          (b)位相曲線
        図4.4.4　オペアンプのローパスフィルタのボード線図2