橋平礼の電験三種合格講座

過去50年分以上の電験三種の問題を解いて分かった、電験三種は今も昔も変わりません。過去問を解きながら合格を目指しましょう。

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平成28年(2016年) 電験三種 理論 問9

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そちらも見て下さい。

 

 



  図のように、$ R=1 \Omega $の抵抗、インダクタンス$L_1=0.4mH,L_2=0.2mH$のコイル、及び静電容量$ C= 8 \mu F$のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧$V=100V$を加えたとき、回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数$ \omega_1$の値$[rad/s]$及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数$ \omega _2$の値$[rad/s]$の組み合わせとして、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

f:id:hashi-rei-channel:20210816160554p:plain

  $ \omega_1 $  $ \omega_2 $ 
(1)  $2.5 \times 10^4$  $3.5 \times 10^3$
(2)  $2.5 \times 10^4$  $3.1 \times 10^4$
(3)  $3.5 \times 10^3$  $2.5 \times 10^4$
(4)  $3.1 \times 10^4$  $3.5 \times 10^3$
(5)  $3.1 \times 10^4$  $2.5 \times 10^4$



 


解答 (5)  

 

インピーダンス
$Z=R+j \omega L_1+\dfrac{{j \omega L_2} \times {\dfrac{1}{j \omega C}}}{j \omega L_2 + \dfrac{1}{j \omega C}} $
$~=R+j \omega L_1+\dfrac{j \omega L_2}{1- \omega^2 C L_2 } $
$~=R+j \omega \left( L_1+\dfrac{ L_2}{1- \omega^2 C L_2 } \right)$
$~=R+j \omega \left( \dfrac{ L_1(1- \omega^2 C L_2)+{ L_2} }{1- \omega^2 C L_2 } \right)$
$~=R+j \omega \left( \dfrac{ L_1+L_2- \omega^2 C L_1 L_2 }{1- \omega^2 C L_2 } \right)$

インピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数は分子が$0$になればよいので
${ L_1+L_2- \omega^2 C L_1 L_2 }=0 $

$
\omega_1=\sqrt{\dfrac{ L_1+L_2}{ C L_1 L_2 } }$
$~=\sqrt{\dfrac{ 0.4 \times 10^{-3}+0.2 \times 10^{-3}}{ 8 \times 10^{-6} \times 0.4 \times 10^{-3} \times 0.2 \times 10^{-3} } }
=\sqrt{\dfrac{ 0.6 \times 10^{-3}}{0.64 \times 10^{-12} } }
=\sqrt{{ 9.38 \times 10^{8}} }
=3.06 \times 10^4
$

インピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数は分母が$0$になればよいので

$
\omega_2=\sqrt{\dfrac{1}{ C L_2 } }
=\sqrt{\dfrac{1}{ 8 \times 10^{-6} \times 0.2 \times 10^{-3}} }
=\sqrt{\dfrac{1}{ 16 \times 10^{-10}} }
=\dfrac{1}{ 4 \times 10^{-5}}
=2.5 \times 10^4
$