電験三種 理論 基礎力向上テキスト-63
amazon kindle版の本を出版しました。
そちらも見て下さい。
RLCバンドパスフィルタ
RCローパスフィルタとRLハイパスフィルタの組み合わせになります。回路は次のようになります。
図6.1.1 RLCバンドパスフィルタ
電圧の比から計算すると、
$V_o=\dfrac{\dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega L}+j \omega C}}{R+\dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega L}+j \omega C}}V_i=\dfrac{1}{R \left( {\dfrac{1}{j \omega L}+j \omega C}\right)+1}V_i=\dfrac{j \omega L}{-\omega^2 RLC+j \omega L+R}V_i$
よって、周波数伝達関数は、
$G(j \omega )=\dfrac{V_o}{V_i}=\dfrac{j \omega L}{-\omega^2 RLC+j \omega L+R}V_i$ ・・・(6.1)
微分方程式を用いて計算すると、$R$を流れる電流を$i$、$C$を流れる電流を$i_C$、$L$を流れる電流を$i_L$とすると、
$i=i_C+i_L$
$V_i-V_o=Ri$
$V_o=\dfrac{1}{C} \int i_C dt$より、$i_C=C \dfrac{dV_o}{dt}$
$V_o= L \dfrac{d i_L}{dt}$より、$i_L=\dfrac{1}{L} \int V_o dt$
これらを代入すると
$V_i-V_o=R(i_C+i_L)$
$V_i-V_o=R \left(C \dfrac{dV_o}{dt}+\dfrac{1}{L} \int V_o dt \right)$
ラプラス変換すると
$V_i(s)-V_o(s)=R \left( s C V_o(s)+\dfrac{1}{sL} V_o(s) \right)$
伝達関数は次式のようになります。
$G(s)=\dfrac{V_o(s)}{V_o(s)}= \dfrac{1}{\left( s RC +\dfrac{R}{sL}+1 \right)}=\dfrac{sL}{s^2RLC+sL+R}$ ・・・(6.2)
周波数伝達関数は
$G(j \omega)=\dfrac{j \omega L}{-\omega ^2 RLC +j \omega L+R}$ ・・・(6.3)
これは、式(6.1)と同じ式となります。
このとき、共振周波数は次式で求めることができます。
$f_0=\dfrac{1}{2\pi \sqrt{CL}}$
RCローパスフィルタカットオフ周波数<RLハイパスフィルタのカットオフ周波数となる必要があります。
ボード線図を描いてみます。
(a)ゲイン曲線
(b)位相曲線
図6.1.2 RLCバンドパスフィルタのボード線図