橋平礼の電験三種合格講座

過去50年分以上の電験三種の問題を解いて分かった、電験三種は今も昔も変わりません。過去問を解きながら合格を目指しましょう。

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電験三種 理論 基礎力向上テキスト-63

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RLCバンドパスフィルタ

 

RCローパスフィルタとRLハイパスフィルタの組み合わせになります。回路は次のようになります。

          

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              図6.1.1 RLCバンドパスフィルタ

 電圧の比から計算すると、

$V_o=\dfrac{\dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega L}+j \omega C}}{R+\dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega L}+j \omega C}}V_i=\dfrac{1}{R \left( {\dfrac{1}{j \omega L}+j \omega C}\right)+1}V_i=\dfrac{j \omega L}{-\omega^2 RLC+j \omega L+R}V_i$

よって、周波数伝達関数は、
$G(j \omega )=\dfrac{V_o}{V_i}=\dfrac{j \omega L}{-\omega^2 RLC+j \omega L+R}V_i$        ・・・(6.1)

微分方程式を用いて計算すると、$R$を流れる電流を$i$、$C$を流れる電流を$i_C$、$L$を流れる電流を$i_L$とすると、
$i=i_C+i_L$
$V_i-V_o=Ri$

$V_o=\dfrac{1}{C} \int i_C dt$より、$i_C=C \dfrac{dV_o}{dt}$
$V_o= L \dfrac{d i_L}{dt}$より、$i_L=\dfrac{1}{L} \int V_o dt$
これらを代入すると
$V_i-V_o=R(i_C+i_L)$

$V_i-V_o=R \left(C \dfrac{dV_o}{dt}+\dfrac{1}{L} \int V_o dt \right)$

ラプラス変換すると

$V_i(s)-V_o(s)=R \left( s C V_o(s)+\dfrac{1}{sL}  V_o(s) \right)$

伝達関数は次式のようになります。
 $G(s)=\dfrac{V_o(s)}{V_o(s)}= \dfrac{1}{\left( s RC +\dfrac{R}{sL}+1 \right)}=\dfrac{sL}{s^2RLC+sL+R}$ ・・・(6.2)

周波数伝達関数
$G(j \omega)=\dfrac{j \omega L}{-\omega ^2 RLC +j \omega L+R}$            ・・・(6.3)
これは、式(6.1)と同じ式となります。
このとき、共振周波数は次式で求めることができます。

$f_0=\dfrac{1}{2\pi \sqrt{CL}}$

RCローパスフィルタカットオフ周波数<RLハイパスフィルタのカットオフ周波数となる必要があります。

 

ボード線図を描いてみます。
        

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                        (a)ゲイン曲線

     

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                          (b)位相曲線
        図6.1.2 RLCバンドパスフィルタのボード線図