数学の基礎と公式-22

数学の基礎と公式

amazon kindle版を出版しました。

---

22. 広義積分

$\displaystyle{       }$

Maximaで計算しています。

※$\log x$の$x$の箇所には絶対値がつきます。$\log |x|$

(1) $\displaystyle{ \int_0^\infty e^{-x^2} dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} }$　

(2) $\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi} }$　

(3) $\displaystyle{ \int_{0}^\infty e^{-16x^2} dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{8} }$　

(4) $\displaystyle{  \int_{-\infty}^\infty  e^{-\frac{x^2}{2}} dx=\sqrt{2 \pi} }$　

(5) $\displaystyle{  \int_{1}^\infty  e^{-(x-1)^2} dx=\dfrac{\sqrt{ \pi}}{2} }$　

(6) $\displaystyle{  \int_{0}^\infty x^2  e^{-x^2} dx=\dfrac{\sqrt{ \pi}}{4} }$　

(7) $\displaystyle{  \int_{0}^\infty x  e^{-x^2} dx=\dfrac{1}{2} }$　

(8) $\displaystyle{  \int_{0}^\infty x^3  e^{-x^2} dx=\dfrac{1}{2} }$　

(9) $\displaystyle{  \int_{0}^\infty x^2  e^{-x^2} dx=\dfrac{3 \sqrt{ \pi}}{8} }$

(10) $\displaystyle{  \int_{0}^\infty x^5  e^{-x^2} dx=1 }$　　

(11) $\displaystyle{  \int_{0}^\infty \dfrac{  e^{-x}}{\sqrt{x}} dx=\sqrt{\pi} }$　

(12) $\displaystyle{  \int_{0}^1 \left( \log \dfrac{1}{x} \right)^ \frac{1}{2} dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} }$　

(13) $\displaystyle{  \int_{0}^1 \dfrac{1}{\sqrt{x  \log \dfrac{1}{x} }} dx=\sqrt{2 \pi} }$