数学の基礎と公式-17-2
数学の基礎と公式
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17. 微分方程式
$\displaystyle{ }$
Maximaで計算しています。
（同次形ほか）
${\it \%c},{\it \%k}_{2}\,{\it \%k}_{1}$は任意定数
※$\log x$の$x$の箇所には絶対値がつきます。$\log |x|$
(1) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t} }$
$\displaystyle{ x={\it \%c}\,t }$
(2) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{t}{x} }$
$\displaystyle{ {{x^2}\over{2}}={{t^2}\over{2}}+{\it \%c} }$
(3) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}+\dfrac{t}{x} }$
$\displaystyle{ {{x^2-2\,t^2\,\log t}\over{2\,t^2}}={\it \%c} }$
$\displaystyle{ x=2\,t^2({\it \%c} +\,\log t ) }$
(4) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}\times t=2x +\dfrac{x^2}{t} }$
$\displaystyle{ x=-{{t^2}\over{t+{\it \%c}}} }$
(5) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}+e^{-\frac{x}{t}} }$
$\displaystyle{ e^{x\over{t}}-\log t={\it \%c} }$
(6) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}+t+1 }$
$\displaystyle{ x=t\,\left(\log t+t+{\it \%c}\right) }$
(7) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x}{t}+t+1 }$
$\displaystyle{ x=t\,\left(\log t+t+{\it \%c}\right) }$
(8) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=x^2+4 }$
$\displaystyle{ {{\log \left(x+2\right)-\log \left(x-2 \right)}\over{4}}=t+{\it \%c} }$
(9) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=-x \cos t+2 te^{-\sin t} }$
$\displaystyle{ x=\left(t^2+{\it \%c}\right)\,e^ {- \sin t } }$
(10) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=x \sin t+2 te^{-\cos t} }$
$\displaystyle{ x=\left(t^2+{\it \%c}\right)\,e^ {- \cos t } }$
(11) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{3 x}{t}+\dfrac{1}{t^3} }$
$\displaystyle{ x={{t+{\it \%c}}\over{t^3}} }$
(12) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{ x}{2t+5} }$
$\displaystyle{ x={\it \%c}\,\sqrt{2\,t+5} }$
(13) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{4 x^2-t^2}{4 t x} }$
$\displaystyle{ {{t^2\,\log t+2\,x^2}\over{t^2}}={\it \%c} }$
(14) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=-x+t e^{-2t} }$
$\displaystyle{ x=e^ {- 2\,t }\,\left({\it \%c}\,e^{t}-t-1\right) }$
(15) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=8t^3x^2 }$ だたし、$t=0$のとき$x=2$
$\displaystyle{ x=-{{2}\over{4 \,t^4-1}} }$
(16) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=x^2+1 }$ だたし、$t=0$のとき$x=1$
$\displaystyle{ x=\tan(t+\frac{\pi}{4}) }$
(17) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt} t+x+t=0 }$
$\displaystyle{ x=-{{t^2-2\,{\it \%c}}\over{2\,t}} }$
(18) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt} x-2x+t=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%c} e^{{{t}\over{x-t}}}+ \,t }$
(19) $\displaystyle{ -2 \dfrac{dx}{dt} xt+x^2+t^2=0 }$
$\displaystyle{ -{{x^2-t^2}\over{t}}={\it \%c} }$
(20) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt} (t^2-x^2)=2 t x }$
$\displaystyle{ {{x}\over{x^2+t^2}}={\it \%c} }$
(21) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt} (x^2+x t)+x^2=0 }$
$\displaystyle{ {{x^2+2\,t\,x}\over{2}}={\it \%c} }$
maximaでの記述
物理の物体の自由落下に関する問題で,上向きを正とした場合、
(1)$\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{d t^2}=-g }$
・ode2を使う場合
ode2( diff(x(t), t, 2) = -g, x(t), t );
2
g t
x(t) = (- ----) + %k2 t + %k1
2
$\displaystyle{ x\left(t\right)=-{{g\,t^2}\over{2}}+{\it \%k}_{2}\,t+{\it \%k}_{1}}$
${\it \%k}_{2}\,{\it \%k}_{1}$は任意定数
・desolveを使う場合
desolve( diff(x(t), t, 2) = -g, x(t) );
$\displaystyle{x\left(t\right)=t\,\left(\left.{{d}\over{d\,t}}\,x\left(t\right) \right|_{t=0}\right)-{{g\,t^2}\over{2}}+x\left(0\right)}$
$\displaystyle{x'(0)=\left(\left.{{d}\over{d\,t}}\,x\left(t\right) \right|_{t=0}\right)}$のことです。
(2)初期値$t=0$のとき$x=0,x'(0)=0$を入れる場合は、
ic2(% , t=0 , x(0)=0 , diff(x(t),t)=0);
2
g t
x(t) = - ----
2
$\displaystyle{x\left(t\right)=-{{g\,t^2}\over{2}}}$
(3)$\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{5x}{3t} }$
ode2( diff(x(t), t, 1) = 5*x(t)/(3*t), x(t), t );
5 log(t)
--------
3
x(t) = %c %e
radcan(%);・・・logなどの関数を簡単にする。
5/3
x(t) = %c t
