数学の基礎と公式-20
数学の基礎と公式
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20. 微分方程式-5
$\displaystyle{ }$
Maximaで計算しています。
${\it \%c},{\it \%k}_{2}\,{\it \%k}_{1}$は任意定数
※$\log x$の$x$の箇所には絶対値がつきます。$\log |x|$
(1) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} t^2+3 \dfrac{d x}{dt} t+x=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^{t}+{\it \%k}_{2}\,e^ {- t } }$
(2) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} t^2+5 \dfrac{d x}{dt} t+3 x=0 }$
$\displaystyle{ x={{{\it \%k}_{1}}\over{2\,t}}+{{{\it \%k}_{2}}\over{ t^3}} }$
(3) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} -\dfrac{2}{t} \dfrac{d x}{dt}+\dfrac{2}{t^2} x=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,t^2+{\it \%k}_{2}\,t }$
(4) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} t^2 -2 t \dfrac{d x}{dt}+2 x=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,t^2+{\it \%k}_{2}\,t }$
(5) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} t^2 + t \dfrac{d x}{dt}+ x=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,\sin \log t+{\it \%k}_{2}\,\cos \log t }$
(6) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} -3 \dfrac{d x}{dt}+2 x=e^{5t} }$
$\displaystyle{ x={{e^{5\,t}}\over{12}}+{\it \%k}_{1}\,e^{2\,t}+ {\it \%k}_{2}\,e^{t} }$
(7) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} - \dfrac{d x}{dt}-6 x=e^{-4t} }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^{3\,t}+{\it \%k}_{2}\,e^ {- 2\,t } +{{e^ {- 4\,t }}\over{14}} }$
(8) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} -14 \dfrac{d x}{dt}+49 x=e^{-t} }$
$\displaystyle{ x=\left({\it \%k}_{2}\,t+{\it \%k}_{1}\right)\,e^{7\, t}+{{e^ {- t }}\over{64}} }$
(9) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} + \dfrac{d x}{dt}+ x=e^{-t} }$
$\displaystyle{ x=e^ {- {{t}\over{2}} }\,\left({\it \%k}_{1}\,\sin \left({{\sqrt{3}\,t}\over{2}}\right)+{\it \%k}_{2}\,\cos \left({{ \sqrt{3}\,t}\over{2}}\right)\right)+e^ {- t } }$
(10) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} t^2+ \dfrac{d x}{dt}t- x=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{2}\,t-{{{\it \%k}_{1}}\over{2\,t}} }$
(11) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} (1+t)+ \dfrac{d x}{dt}t+t=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,\left(-t-1\right)\,e^ {- t }- {\it \%k}_{1}\,e^ {- t }-t+{\it \%k}_{2} }$
(12) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} t^2+ \dfrac{d x}{dt}t+t-x=0 }$
$\displaystyle{ x=-{{2\,t\,\log t-t}\over{4}}+{\it \%k}_{2}\,t-{{ {\it \%k}_{1}}\over{2\,t}} }$
(13) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} t^2-3 \dfrac{d x}{dt}t+2 x +3t-5=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,t^{\sqrt{2}+2}+{\it \%k}_{2}\,t^{2- \sqrt{2}}+{{6\,t+5}\over{2}} }$
(14) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} -3 \dfrac{d x}{dt}+2 x -e^t-\cos t=0 }$
$\displaystyle{ x=-{{3\,\sin t-\cos t+\left(10\,t+10\right)\,e^{t} }\over{10}}+{\it \%k}_{1}\,e^{2\,t}+{\it \%k}_{2}\,e^{t} }$
(15) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} +5 \dfrac{d x}{dt} -3 \sin t-2 \cos t=0 }$
$\displaystyle{ x={{7\,\sin t-17\,\cos t}\over{26}}+{\it \%k}_{2}\,e ^ {- 5\,t }+{\it \%k}_{1} }$
(16) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} -5 \dfrac{d x}{dt}+4 x -t^2-e^t \sin t=0 }$
$\displaystyle{ x=-{{16\,e^{t}\,\sin t-48\,e^{t}\,\cos t-40\,t^2-100 \,t-105}\over{160}}+{\it \%k}_{1}\,e^{4\,t}+{\it \%k}_{2}\,e^{t} }$
(17) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} +2 \dfrac{d x}{dt}+4 x -\sin t=0 }$
$\displaystyle{ x=e^ {- t }\,\left({\it \%k}_{1}\,\sin \left(\sqrt{3} \,t\right)+{\it \%k}_{2}\,\cos \left(\sqrt{3}\,t\right)\right)+{{3\, \sin t-2\,\cos t}\over{13}} }$
(18) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} + \dfrac{d x}{dt}+ x -8\sin t=0 }$
$\displaystyle{ x=4\,\cos t+\left({\it \%k}_{2}\,t+{\it \%k}_{1} \right)\,e^{t} }$
(19) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} -4 \dfrac{d x}{dt}+ 3x=0 }$、$t=0$のとき$x=1,\dfrac{d x}{dt}=2$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^{3\,t}+{\it \%k}_{2}\,e^{t} }$
$t=0$のとき$x=2,\dfrac{d x}{dt}=3$より、
$\displaystyle{ x={{3\,e^{t}}\over{2 }}+{{\,e^{3\,t}}\over{2}} }$
(20) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} +7 \dfrac{d x}{dt}+ 12 x=0 }$、$t=0$のとき$x=1,\dfrac{d x}{dt}=1$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^ {- 3\,t }+{\it \%k}_{2}\,e^ {- 4 \,t } }$
$t=0$のとき$x=1,\dfrac{d x}{dt}=1$より、
$\displaystyle{ x=5\,e^ {- 3\,t }-4\,e^ {- 4\,t } }$
maximaでの記述
物理の物体の自由落下に関する問題で,上向きを正とした場合、
(1)$\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{d t^2}=-g }$
・ode2を使う場合
ode2( diff(x(t), t, 2) = -g, x(t), t );
2
g t
x(t) = (- ----) + %k2 t + %k1
2
$\displaystyle{ x\left(t\right)=-{{g\,t^2}\over{2}}+{\it \%k}_{2}\,t+{\it \%k}_{1}}$
${\it \%k}_{2}\,{\it \%k}_{1}$は任意定数
・desolveを使う場合
desolve( diff(x(t), t, 2) = -g, x(t) );
$\displaystyle{x\left(t\right)=t\,\left(\left.{{d}\over{d\,t}}\,x\left(t\right) \right|_{t=0}\right)-{{g\,t^2}\over{2}}+x\left(0\right)}$
$\displaystyle{x'(0)=\left(\left.{{d}\over{d\,t}}\,x\left(t\right) \right|_{t=0}\right)}$のことです。
(2)初期値$t=0$のとき$x=0,x'(0)=0$を入れる場合は、
ic2(% , t=0 , x(0)=0 , diff(x(t),t)=0);
2
g t
x(t) = - ----
2
$\displaystyle{x\left(t\right)=-{{g\,t^2}\over{2}}}$
(3)$\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{5x}{3t} }$
ode2( diff(x(t), t, 1) = 5*x(t)/(3*t), x(t), t );
5 log(t)
--------
3
x(t) = %c %e
radcan(%);・・・logなどの関数を簡単にする。
5/3
x(t) = %c t
