Maxima：極限

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Maxima：極限

Xmaxima：console版で実行しています。

(1)$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\dfrac{\sin x}{x}=1}}$

limit(sin(x)/x, x, 0);

(2)$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +0}{x^{x}=1}}$

limit(x^x, x, 0,plus);

$x\rightarrow +0$のときplus

$x\rightarrow -0$のときminus

例１

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}{\dfrac{3^x+2^x}{4^x}}=\lim_{x \rightarrow 0} \left \lbrace \left(\dfrac{3}{4}\right)^n+\left(\dfrac{2}{4}\right)^n \right\rbrace =0}$

limit((3^x+2^x)/4^x, x, inf);

0 ・・・答え

例2

$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \left( 1+\dfrac{1}{x} \right)^x }$

$=\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \exp \log \left[ \left( 1+\dfrac{1}{x} \right)^x \right] }$

$=\displaystyle{\exp \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \log \left[ \left( 1+\dfrac{1}{x} \right)^x \right] }$

ここで、$x=\dfrac{1}{X}$とおくと、

$=\displaystyle{\exp \lim_{X \rightarrow \pm 0} \log \left[\left( 1+X \right)^{\frac{1}{X}} \right] }$

$=\displaystyle{\exp \lim_{X \rightarrow \pm 0} \dfrac{\log \left( 1+X \right)}{X} }$

ロピタルの定理から

$=\displaystyle{\exp \lim_{X \rightarrow \pm 0} \dfrac{1}{1+X} }=\exp(1)=e$

limit((1+1/x)^x, x, inf);

%e ・・・答え