昭和50年(1975年) 電験三種 理論 問2-2 別解1

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問2はブリッジ回路をテブナンの定理を使って解く問題です。
次に、この問題をキルヒホッフの法則を使って解いてみましょう。

　
　定電圧E［V］の直流電源に$3r_1$［Ω］と$3r_2$［Ω］の抵抗を並列に接続し，かつ，図のように，各抵抗をそれぞれ1：2及び2：1に分ける点a及びbの間を電流計A及びスイッチSを通して接続してスイッチを閉じるとき，この電流計に流れる電流を求めよ。ただし，電流計の抵抗は無視するものとする。

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解答 

回路は図のように、ブリッジ回路にします。
電流を図の向きにおきます。
そうすると、次の式が成り立ちます。
とりあえず、成り立ちそうな式をたててみます。
$I_0=I_1+I_2$・・・(1)
$I_0=I_3+I_4$・・・(2)
$I_1=I_3+I_5$・・・(3)
$I_4=I_2+I_5$・・・(4)
$I_1 r_1-2 r_2 I_2=0$・・・(5)
$2 I_3 r_1- r_2 I_4=0$・・・(6)
$2 r_2 I_2+r_2 I_4=E$・・・(7)
$ r_1 I_1+2 r_1 I_3=E$・・・(8)

これらの式から$I_5$を導出すればよい。
(5)式に(3)式を代入すると
$(I_3+I_5) r_1-2 r_2 I_2=0$
$ I_2=\dfrac{r_1}{2 r_2}(I_3+I_5) $・・・(5)'

(6)式に(4)式を代入すると
$2 I_3 r_1- r_2 (I_2+I_5)=0$
これに(5)'を代入すると
$2 I_3 r_1- r_2 \left( \dfrac{r_1}{2 r_2}(I_3+I_5) +I_5 \right)=0$
$4 I_3 r_1-  \left( r_1 (I_3+I_5) +2 r_2 I_5 \right)=0$
$3 I_3 r_1- (r_1+ 2 r_2) I_5 =0$
$I_3 = \dfrac{(r_1+ 2 r_2)}  {3 r_1} I_5 $・・・(6)'

(7)式に(4)式を代入すると
$2 r_2 I_2+r_2 (I_2+I_5)=E$
$3 r_2 I_2+r_2 I_5=E$
これに(5)'を代入すると
$3 r_2 \left( \dfrac{r_1} {2 r_2}(I_3+I_5)  \right)+r_2 I_5=E$
$3   r_1(I_3+I_5)  +2 r_2 I_5= 2 E$
$3   r_1 I_3+(3 r_1  +2 r_2) I_5= 2 E$
(6)'を代入すると
$3   r_1 \dfrac{(r_1+ 2 r_2)} {3 r_1} I_5  +(3 r_1  +2 r_2) I_5= 2 E$
$(r_1+ 2 r_2) I_5  +(3 r_1  +2 r_2) I_5= 2 E$
$(4 r_1  +4 r_2) I_5= 2 E$
$I_5=  \dfrac{E}{2( r_1  + r_2)}$

これで、できました。