数学の基礎と公式-19
数学の基礎と公式
amazon kindle版を出版しました。
19. 微分方程式-4
$\displaystyle{ }$
Maximaで計算しています。
${\it \%c},{\it \%k}_{2}\,{\it \%k}_{1}$は任意定数
※$\log x$の$x$の箇所には絶対値がつきます。$\log |x|$
(1) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}=x }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^{t}+{\it \%k}_{2}\,e^ {- t } }$
$t=0$のとき$x=1,\dfrac{d x}{dt}=2$とすると、
$\displaystyle{ x={{3\,e^{t}}\over{2}}- {{\,e^ {- t }}\over{2}} }$
(2) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}=-g }$
として、ボールを高さ$98m$から鉛直上向きに$9.8m/s$に投げ上げた場合の位置$x[m]$は
$\displaystyle{ x=-{{g\,t^2}\over{2}}+9.8t+98 }$
(3) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}-7\dfrac{d x}{dt}+10x=0 }$・・・２つの異なる実数解を持つ場合
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^{5\,t}+{\it \%k}_{2}\,e^{2\,t} }$
(4) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}+4\dfrac{d x}{dt}+4x=0 }$・・・重解を持つ場合
$\displaystyle{ x=\left({\it \%k}_{2}\,t+{\it \%k}_{1}\right)\,e^ {- 2\,t } }$
(5) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}+2\dfrac{d x}{dt}+5x=0 }$・・・２つの異なる虚数解を持つ場合
$\displaystyle{ x=e^ {- t }\,\left({\it \%k}_{1}\,\sin \left(2\,t \right)+{\it \%k}_{2}\,\cos \left(2\,t\right)\right) }$
(6) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}+8\dfrac{d x}{dt}=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{2}\,e^ {- 8\,t }+{\it \%k}_{1} }$
(7) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}+16\dfrac{d x}{dt}=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,\sin \left(4\,t\right)+{\it \%k}_{2} \,\cos \left(4\,t\right) }$
定数係数非斉次線形微分方程式
(8-1) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}-3\dfrac{d x}{dt}+2x=2t^2-3t }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^{2\,t}+{\it \%k}_{2}\,e^{t}+{{4\,t ^2+6\,t+5}\over{4}} }$
(8-2) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}-3\dfrac{d x}{dt}+2x=2 e^{-3t} }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^{2\,t}+{\it \%k}_{2}\,e^{t}+{{e ^ {- 3\,t }}\over{10}} }$
(8-3) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2}-3\dfrac{d x}{dt}+2x=3 \sin 2t }$
$\displaystyle{ x=-{{3\,\sin \left(2\,t\right)-9\,\cos \left(2\,t \right)}\over{20}}+{\it \%k}_{1}\,e^{2\,t}+{\it \%k}_{2}\,e^{t} }$
(9) $\displaystyle{ \dfrac{d x}{dt}+2x-3y-4t=0, \, \dfrac{d y}{dt}+x-2y=0 }$
$\displaystyle{ x={{\left(3\,y\left(0\right)-x\left(0\right)-4 \right)\,e^{t}}\over{2}}-{{\left(3\,y\left(0\right)-3\,x\left(0 \right)-12\right)\,e^ {- t }}\over{2}}+8\,t-4 }$
$\displaystyle{ y={{
\left(3\,y\left(0\right)-x\left(0\right)-4\right)\,e^{t}}\over{2}}- {{\left(y\left(0\right)-x\left(0\right)-4\right)\,e^ {- t }}\over{2 }}+4\,t }$
よって,
$\displaystyle{ x= {\it \%k}_{1}\,e^{t}-3{\it \%k}_{2}\,e^ {- t }+8\,t-4 }$
$\displaystyle{ y= {\it \%k}_{1}\,e^{t}- {\it \%k}_{2}\,e^ {- t }+4\,t }$
(10) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} t^2+\dfrac{d x}{dt} t-x=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{2}\,t-{{{\it \%k}_{1}}\over{2\,t}} }$
(11) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} -3\dfrac{d x}{dt} -4x=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^{4\,t}+{\it \%k}_{2}\,e^ {- t } }$
(12) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} -10\dfrac{d x}{dt} -25x=0 }$
$\displaystyle{ x=\left({\it \%k}_{2}\,t+{\it \%k}_{1}\right)\,e^{5\, t} }$
(13) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} +5\dfrac{d x}{dt} +4x-3t^2+4t=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,e^ {- t }+{\it \%k}_{2}\,e^ {- 4\,t }+{{24\,t^2-92\,t+103}\over{32}} }$
(13) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} +4\dfrac{d x}{dt} +8x-e^{4t}=0 }$
$\displaystyle{ x=e^ {- 2\,t }\,\left({\it \%k}_{1}\,\sin \left(2\,t \right)+{\it \%k}_{2}\,\cos \left(2\,t\right)\right)+{{e^{4\,t} }\over{40}} }$
(14) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} +3\dfrac{d x}{dt} +2x-\sin {t}=0 }$
$\displaystyle{ x={{\sin t-3\,\cos t}\over{10}}+{\it \%k}_{1}\,e^ {- t }+{\it \%k}_{2}\,e^ {- 2\,t } }$
(15) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} +4x+\cos (4t+3)=0 }$
$\displaystyle{ x={{\cos \left(4\,t+3\right)}\over{12}}+{\it \%k}_{1} \,\sin \left(2\,t\right)+{\it \%k}_{2}\,\cos \left(2\,t\right) }$
(16) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} +9x+e^{4t}=0 }$
$\displaystyle{ x={\it \%k}_{1}\,\sin \left(3\,t\right)+{\it \%k}_{2} \,\cos \left(3\,t\right)-{{e^{4\,t}}\over{25}} }$
(17) $\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{dt^2} -10 \dfrac{d x}{dt} +25x-e^{5t}+5 \sin (5t)=0 }$
$\displaystyle{ x=\left({\it \%k}_{2}\,t+{\it \%k}_{1}\right)\,e^{5\, t}-{{\cos \left(5\,t\right)-5\,t^2\,e^{5\,t}}\over{10}} }$
maximaでの記述
物理の物体の自由落下に関する問題で,上向きを正とした場合、
(1)$\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{d t^2}=-g }$
・ode2を使う場合
ode2( diff(x(t), t, 2) = -g, x(t), t );
2
g t
x(t) = (- ----) + %k2 t + %k1
2
$\displaystyle{ x\left(t\right)=-{{g\,t^2}\over{2}}+{\it \%k}_{2}\,t+{\it \%k}_{1}}$
${\it \%k}_{2}\,{\it \%k}_{1}$は任意定数
・desolveを使う場合
desolve( diff(x(t), t, 2) = -g, x(t) );
$\displaystyle{x\left(t\right)=t\,\left(\left.{{d}\over{d\,t}}\,x\left(t\right) \right|_{t=0}\right)-{{g\,t^2}\over{2}}+x\left(0\right)}$
$\displaystyle{x'(0)=\left(\left.{{d}\over{d\,t}}\,x\left(t\right) \right|_{t=0}\right)}$のことです。
(2)初期値$t=0$のとき$x=0,x'(0)=0$を入れる場合は、
ic2(% , t=0 , x(0)=0 , diff(x(t),t)=0);
2
g t
x(t) = - ----
2
$\displaystyle{x\left(t\right)=-{{g\,t^2}\over{2}}}$
(3)$\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{5x}{3t} }$
ode2( diff(x(t), t, 1) = 5*x(t)/(3*t), x(t), t );
5 log(t)
--------
3
x(t) = %c %e
radcan(%);・・・logなどの関数を簡単にする。
5/3
x(t) = %c t
