数学の基礎と公式-17

数学の基礎と公式

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17. 微分方程式

$\displaystyle{       }$

Maximaで計算しています。

（変数分離）

${\it \%c},{\it \%k}_{2}\,{\it \%k}_{1}$は任意定数

(1) $\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{5x}{3t} }$

$\displaystyle{   x={\it \%c}\,t^{{{5}\over{3}}}    }$

(2) $\displaystyle{    \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{4+x^2}{2 x}    }$

$\displaystyle{   \log \left(x^2+4\right)=t+{\it \%c}  }$

$\displaystyle{   x^2=-4+{\it \%c}e^t  }$

(3) $\displaystyle{   \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{2 x}{ t}     }$

$\displaystyle{   x={\it \%c}\,t^2   }$

(4) $\displaystyle{   \dfrac{dx}{dt}=2 t^4 x     }$

$\displaystyle{   x={\it \%c}\,e^{{{2\,t^5}\over{5}}}    }$

(5) $\displaystyle{   \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{4 t^3 x}{t^4+1}     }$

$\displaystyle{   x={\it \%c}\,\left(t^4+1\right)   }$

(6) $\displaystyle{   \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x^2+1}{2xt}     }$

$\displaystyle{  \log \left(x^2+1\right)=\log t+{\it \%c}  }$

$\displaystyle{  x^2=-1 +{\it \%c} t  }$

(7) $\displaystyle{   \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{x^3}     }$

$\displaystyle{  {{x^4}\over{4}}=t+{\it \%c}  }$

(8) $\displaystyle{   \dfrac{dx}{dt}={x^3}     }$

$\displaystyle{  -{{1}\over{2\,x^2}}=t+{\it \%c}  }$

(9) $\displaystyle{   \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{t^3}     }$

$\displaystyle{  x={\it \%c}-{{1}\over{2\,t^2}}  }$

(10) $\displaystyle{   \dfrac{dx}{dt}={t^3}     }$

$\displaystyle{  x={{t^4}\over{4}}+{\it \%c}  }$

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maximaでの記述

物理の物体の自由落下に関する問題で,上向きを正とした場合、

(1)$\displaystyle{ \dfrac{d^2 x}{d t^2}=-g }$

・ode2を使う場合

ode2( diff(x(t), t, 2) = -g, x(t), t );

                   2
               g t
 x(t) = (- ----) + %k2 t + %k1
               2 

$\displaystyle{ x\left(t\right)=-{{g\,t^2}\over{2}}+{\it \%k}_{2}\,t+{\it \%k}_{1}}$

${\it \%k}_{2}\,{\it \%k}_{1}$は任意定数

・desolveを使う場合

desolve( diff(x(t), t, 2) = -g, x(t) );

$\displaystyle{x\left(t\right)=t\,\left(\left.{{d}\over{d\,t}}\,x\left(t\right) \right|_{t=0}\right)-{{g\,t^2}\over{2}}+x\left(0\right)}$

$\displaystyle{x'(0)=\left(\left.{{d}\over{d\,t}}\,x\left(t\right) \right|_{t=0}\right)}$のことです。

(2)初期値$t=0$のとき$x=0,x'(0)=0$を入れる場合は、

ic2(% , t=0 , x(0)=0 , diff(x(t),t)=0);

                 2
             g t
x(t) = - ----
             2 

$\displaystyle{x\left(t\right)=-{{g\,t^2}\over{2}}}$

(3)$\displaystyle{ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{5x}{3t} }$

ode2( diff(x(t), t, 1) = 5*x(t)/(3*t), x(t), t );

                  5 log(t)
                 --------
                     3
x(t) = %c %e 

radcan(%);・・・logなどの関数を簡単にする。

                5/3
 x(t) = %c t