基礎から学ぶ制御工学-20-3.7.2

基礎から学ぶ制御工学

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　3.7.2　例題1（バネの運動方程式）

　バネと質量の運動方程式です。

　バネの運動方程式は力$f$[N]、変位$x$[m]、バネ定数$k$[N/m]フックの法則から次式のようになります。
$f=kx$                            ・・・(3.7.3)
　また、力$f$[N]は質量$ m $[kg]、加速度$a[m/s^2]$より、
$f=ma=m \dfrac{d^2 x}{dt^2}$                    ・・・(3.7.4)
　図の右方向を正として、式(3.7.3）、(3.7.4）より次式のような運動方程式になります。
$ \dfrac{d^2 x}{dt^2}=-kx$                        ・・・(3.7.5)

この式をラグランジュの運動方程式により求めます。
ラグランジアン$L$は運動エネルギー$T$と位置エネルギー$U$との差より
$L=T－U$                            ・・・(3.7.6)
から、
運動エネルギー$T=\dfrac{1}{2}m \dot{x}^2$　            ・・・(3.7.7)
位置エネルギー$T=\dfrac{1}{2}k{x}^2$　            ・・・(3.7.8)
$L=T-U=\dfrac{1}{2}m \dot{x}^2-\dfrac{1}{2}k {x}^2$                ・・・(3.7.9)

式(3.7.2）$\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L_a}{\partial \dot{q_i}} \right)-\dfrac{\partial L_a}{\partial {q_i}}+\dfrac{\partial D}{\partial \dot{q_i}}=f_i$の第1項を計算すると、

$\dfrac{d}{dt}  \left \lbrace \dfrac{\partial }{\partial \dot{x}} \left(  \dfrac{1}{2}m \dot{x}^2-\dfrac{1}{2}k {x}^2 \right) \right \rbrace$

$\dfrac{d}{dt} (m \dot{x}-0)$

$m \ddot{x}=m \dfrac{d^2x}{dt^2}$                        ・・・(3.7.10)

式(3.7.2）の第2項を計算すると、

$\dfrac{\partial }{\partial {x}} \left(  \dfrac{1}{2}m \dot{x}^2-\dfrac{1}{2}k {x}^2 \right) $・・・(3.7.11)
$=-kx$                            ・・・(3.7.12)

式(3.7.2）の第3項は、摩擦などを考えないので0となる。
$\dfrac{\partial D}{\partial \dot{\theta}}=0$                          ・・・(3.7.13)

また、外部から力$f$は加わっていないとすると、次式のような運動方程式になります。

$m \dfrac{d^2x}{dt^2}-(-kx)=0$

 $m \dfrac{d^2x}{dt^2}=kx$                          ・・・(3.7.14)

この式(3.7.14）と(3.7.5)は一致していることが分かります。