平成29年(2017年) 電験三種 理論 問16
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問16
図のように，線間電圧$V[V]$，周波数$f [Hz]$の対称三相交流電源に，$R [\Omega］$の抵抗とインダクタンス$L[H]$のコイルからなる三相平衡負荷を接続した交流回路がある。この回路には，スイッチ$S$を介して，負荷に静電容量$C[F]$の三相平衡コンデンサを接続することができる。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a）スイッチ$S$を開いた状態において，$V=200 V,f=50 Hz,R=5 \Omega,L=5mH$のとき，三相負荷全体の有効電力の値$[W]$と力率の値の組合せとして，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| 有効電力 | 力率 | |
|---|---|---|
| （１） | $2.29 \times 10^3$ | 0.5 |
| （２） | $7.28 \times 10^3$ | 0.71 |
| （３） | $7.28 \times 10^3$ | 0.95 |
| （４） | $2.18 \times 10^4$ | 0.71 |
| （５） | $2.18 \times 10^4$ | 0.95 |
(b）スイッチ$S$を閉じてコンデンサを接続したとき，電源からみた負荷側の力率が1になった。
このとき，静電容量$C$の値$[F]$を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，角周波数を$\omega[rad/s]$とする
(1)$C=\dfrac{L}{R^2+\omega^2 L^2}$
(2)$C=\dfrac{\omega L}{R^2+\omega^2 L^2}$
(3)$C=\dfrac{L}{\sqrt{3}(R^2+\omega^2 L^2)}$
(4)$C=\dfrac{L}{3(R^2+\omega^2 L^2)}$
(5)$C=\dfrac{\omega L}{{3}(R^2+\omega^2 L^2)}$
答え (a)：(3) ，(b)：(4)
(a)
1相当たりのリアクタンスは
$X_L=\omega L=2 \times \pi \times 50 \times 5 \times 10^{-3}=1.571 \Omega $
インピーダンスは
$Z=5+j1.571$
$|Z|=5.241 \Omega$
力率は$\dfrac{5}{5.241}=0.954$
流れる電流は
$I=\dfrac{200}{\sqrt{3} \times 5.241}=22.03 [A]$
よって電力は
$P=\sqrt{3} V I \cos \theta=\sqrt{3} \times 200 \times 22.03 \times 0.954=7280=7.28 \times 10^3[W]$
(b)
$\Delta$接続のコンデンサを$Y$接続に変換すると$3C$となるので，
１相当たりで考えるとアドミタンスは
$Y=\dfrac{1}{R+j \omega L}+j \omega 3 C$
$=\dfrac{R-j \omega L}{R^2+ \omega^2 L^2}+j \omega 3 C$
$=\dfrac{R}{R^2+ \omega^2 L^2}-\dfrac{j \omega L}{R^2+ \omega^2 L^2}+j \omega 3 C$
この虚部が0となったとき，力率１となるので，
$-\dfrac{j \omega L}{R^2+ \omega^2 L^2}+j \omega 3 C=0$
$\dfrac{ \omega L}{R^2+ \omega^2 L^2}= \omega 3 C$
$\dfrac{ L}{3(R^2+ \omega^2 L^2)}= C$
