平成29年(2017年) 電験三種 理論 問15

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  問15

　図は未知のインピーダンス$\dot{Z}[\Omega]$を測定するための交流ブリッジである。電源の電圧を$\dot{E}［V]$，角周波数を$\omega [rad/s]$とする。ただし$\omega$，静電容量$C_1[F]$，抵抗$R_1[\Omega], R_2[\Omega],R_3[\Omega]$は零でないとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a）交流検出器$D$による検出電圧が零となる平衡条件を$\dot{Z},R_1,R_2,R_3,\omega$及び$C_1$を用いて表すと，
$\dot{Z}=R_2 R_3$
となる。
　上式の空白に入る式として適切なものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)$R_1+\dfrac{1}{j \omega C_1}$

(2)$R_1-\dfrac{1}{j \omega C_1}$

(3)$\dfrac{R_1}{1+j \omega C_1 R_1}$

(4)$\dfrac{R_1}{1-j \omega C_1 R_1}$

(5)$\sqrt{\dfrac{R_1}{j \omega C_1}}$

(b)$\dot{Z}=R+jX$としたとき，この交流ブリッジで測定できる$R[\Omega]$と$X[\Omega]$の満たす条件として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)$R \geqq 0, X \leqq 0$ 
(2)$R \gt 0, X \lt 0$
(3)$R = 0, X \gt 0$
(4)$R \gt 0, X \gt 0$
(5)$R = 0, X \geqq 0$

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答え　(a)：(3)　，(b)：(4)

(a)交流回路の平衡条件は

$\left( \dfrac{1}{\dfrac{1}{R_1}+j \omega C_1} \right) \dot{Z}=R_2 R_3$
よって括弧内を整理すると

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{R_1}+j \omega C_1}=\dfrac{R_1}{1+j \omega C_1 R_1}$

(b)
$\dot{Z}=R+jX$より

$\dfrac{R_1}{1+j \omega C_1 R_1}(R+jX)=R_2 R_3$
左辺を整理すると

 $\dfrac{R_1(1-j \omega C_1 R_1)}{1+( \omega C_1 R_1)^2}(R+jX)$

 $\dfrac{R_1}{1+( \omega C_1 R_1)^2}(1-j \omega C_1 R_1)(R+jX)$

$\dfrac{R_1}{1+( \omega C_1 R_1)^2}\{R+ \omega C_1 R_1 X-j (X- \omega C_1 R_1 R) \}$
となるので，

$\dfrac{R_1}{1+( \omega C_1 R_1)^2}(R+ \omega C_1 R_1 X)=R_2 R_3$

$\dfrac{R_1}{1+( \omega C_1 R_1)^2}\{-j (X-\omega C_1 R_1 R) \}=0$
となればよい。
$X=\omega  C_1 R_1 R$

(3)$R = 0, X \gt 0$と(5)$R = 0, X \geqq 0$は
$R=0$のとき$X=0$とならなければ条件を満たさない。

$R$と$X$は同符号でなければならないので，
(1)$R \geqq 0, X \leqq 0$と(2)$R \gt 0, X \lt 0$は条件を満たさない。

よって，
(4)$R \gt 0, X \gt 0$が条件を満たしている。