電験三種 理論 基礎力向上テキスト-23

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そちらも見て下さい。 

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第3編　過渡現象
2.　RC直列回路の過渡現象

　図3.3に示すような抵抗$R[\Omega]$，コンデンサの容量$C[F]$の$RC$直列回路に，時間$t=0$において，直流起電力$E[V]$を加えたとき，流れる電流$i[A]$，およびコンデンサの電荷$q[C]$を求めよ。ただし，$t=0$のとき$i=0,q=0$の静止状態とする。

 

(1)電荷$q$の計算
　$RC$直列回路では次の微分方程式が成立します。

$R i+ \dfrac{1}{C} \int i dt=E$
ここで，$i=\dfrac{d q}{d t}$ であるので，
$R \dfrac{d q}{d t}=\dfrac{1}{C}q=E$

式を整理して、両辺を積分すると

$\int \dfrac{1}{q-C E}d q=-\dfrac{1}{C R} \int d t$
$\log |q-C E|=-\dfrac{1}{C R}t+K$
$K$は積分定数
両辺を指数関数の形式にすると
$q=C E \pm e^K e^{-\frac{1}{C R}t}$
ここで，$K'=\pm e^K$とすると
$q=C E +K' e^{-\frac{1}{C R}t}$

初期値$t=0$のとき$q=0$を適用すると，$e^0=1$より
$q=C E \left(1-e^{-\frac{1}{C R}t} \right)$

(2)電流iの計算
また，$i=\dfrac{d q}{d t}$より，
$i=\dfrac{E}{R}  e^{-\frac{1}{CR}t} $

$RC$回路の時定数は
$T=CR$

図3.4に電流i，コンデンサの電荷qを示します。図3.4では電圧1V，抵抗1Ω，コンデンサの容量1Fとしました。このとき，時定数は１となります。