平成30年(2018年) 電験三種 理論 問17
問17はコンデンサの問題です。
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問17
空気(比誘電率1)で満たされた極板間距離$5d[m]$の平行板コンデンサがある。図のように，一方の極板と大地との間に電圧$V_0[V]$の直流電源を接続し，極板と同形同面積で厚さ$4d[m]$の固体誘電体(比誘電率4)を極板と接するように挿入し，他方の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，コンデンサの端効果は無視できるものとする。
(a)極板間の電位分布を表すグラフ(縦軸：電位$V[V]$，横軸：電源が接続された極板からの距離$x[m]$)として，最も近いものを図中の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(b)$V_0=10kV,d=1mm$とし，比誘電率4の固体誘電体を比誘電率$\epsilon_r$の固体誘電体に差し替え，空気ギャップの電界の強さが$2.5kV/mm$となったとき，$\epsilon_r$の値として最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1)0.75
(2)1.00
(3)1.33
(4)1.67
(5)2.00
答え (a)：(3) ，(b)：(3)
(a)
誘電体を挿入した箇所と、空気部分との２つのコンデンサと考えることができる。
空気部のコンデンサの容量は
$C_1=\epsilon_0 \times \dfrac{S}{d}$
厚さ$4d[m]$の固体誘電体(比誘電率4)より、
誘電体部のコンデンサの容量は
$C_2=4 \epsilon_0 \times \dfrac{S}{4 d}=C_1$
同じ容量となる。
よって、加わる電圧も$\dfrac{1}{2}V_0$となるので、答えは(3)
(b)
厚さ$4d[m]$の固体誘電体(比誘電率$\epsilon_r$)より、
誘電体部のコンデンサの容量は
$C_2=\epsilon_r \epsilon_0 \times \dfrac{S}{4 d}= \dfrac{\epsilon_r }{4 }C_1$
空気ギャップの電界の強さが$2.5kV/mm$より、$C_2$は$7.5kV$の電圧が加わっている。
$Q=CV$として、電荷は等しいので
$Q=C_1 V_1=C_2 V_2$
$C_1 \times 2.5=C_2 \times 7.5$
$C_1 \times 2.5=\dfrac{\epsilon_r }{4 }C_1 \times 7.5$
$1=\dfrac{3 \epsilon_r }{4 }$
$\epsilon_r=\dfrac{4 }{3 }=1.33$
