令和4年(2022年) 上期 電験三種 理論 問17
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問17は、コンデンサに関する問題です。この問題も基本中の基本の問題ですので、解けるようにしておきましょう。
解いてみましょう。
図のように直列に接続された二つの平行平板コンデンサに$120V$の電圧が加わっている。 コンデンサ$C_1$の金属板間は真空であり，コンデンサ$C_2$の金属板間には比誘電率$\epsilon_r$の誘電体が挿入されている。コンデンサ$C_1,C_2$の金属板間の距離は等しく，$C_1$の金属板の面積は$C_2$の$2$倍である。このとき，コンデンサ$C_1$の両端の電圧が$80V$であった。次の（a）及び（b）の問に答えよ。
ただし，コンデンサの端効果は無視できるものとする。
（a）コンデンサ$C_2$の誘電体の比誘電率$\epsilon_r$の値として，最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
（1）1 （2）2 （3）3 （4）4 （5）5
（b）$C_1$の静電容量が$30 \mu F$のとき，$C_1$と$C_2$の合成容量の値［$\mu F$］として，最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
（1）10 （2）20 （3）30 （4）40 （5）50
解答 (a)：(4)，(b)：(2)
(a)
コンデンサ$C_1$の金属板間は真空であり，コンデンサ$C_2$の金属板間には比誘電率$\epsilon_r$の誘電体が挿入されている。また、コンデンサ$C_1,C_2$の金属板間の距離$d$は等しく，$C_1$の金属板の面積は$C_2$の面積$S$の2倍であるので、次のような式で表されます。
$C_1=\epsilon_0 \dfrac{2S}{d}[F]$、$C_2=\epsilon_0 \epsilon_r \dfrac{S}{d}[F]$
二つの平行平板コンデンサに$120V$の電圧が加わっており、コンデンサ$C_1$の両端の電圧が$80V$です。また、直列の場合、コンデンサの電荷は等しいので、
$Q=C_1V_1=C_2V_2$
$\epsilon_0 \dfrac{2S}{d} \times 80=\epsilon_0 \epsilon_r \dfrac{S}{d} \times 40$
よって、比誘電率$\epsilon_r=4$
(b)
(a)より、$Q=C_1V_1=C_2V_2$に値を代入すると
$30 \times 80=C_2 \times 40$
$C_2=60 \mu F$
よって合成静電容量は
$C=\dfrac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\dfrac{30 \times 60}{30+60}=20 \mu F$
