令和元年(2019年) 電験三種 理論 問9

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問9は交流回路の問題です。

周波数が３通りありますので、３つに分けて考えると良いでしょう

解いてみましょう。

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　図は，実効値が$1V$で角周波数$\omega［krad/s］$が変化する正弦波交流電源を含む回路である。いま、$\omega$の値が$\omega_1=5krad/s$，$\omega_2=10krad/s$，$\omega_3=30krad/s$と３通りの場合を考え，$\omega=\omega_k(k=1,2,3)$のときの電流$i［A］$の実効値$I_k$と 表すとき、$I_1$，$I_2$，$I_3$の大小関係として，正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。

（1）$ I_1 \lt  I_2 \lt I_3$
（2）$ I_1 =  I_2 \lt I_3$
（3）$ I_2 \lt  I_1 \lt I_3$
（4）$ I_2 \lt  I_1 = I_3$ 
（5）$ I_3 \lt  I_2 \lt I_1$ 

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解答 （3）  

まず、抵抗は$100k\Omega$と非常に大きいので無視して考えます。 

コイルのインピーダンスは、コイル$1mH$より
$\omega_1=5k rad/s$のとき$X_L＝5\Omega$
$\omega_2=10k rad/s$のとき$X_L＝10\Omega$
$\omega_3=30k rad/s$のとき$X_L＝30\Omega$

コンデンサのインピーダンスは、容量が$10 \mu F$より、

$\omega_1=5k rad/s$のとき$X_C＝\dfrac{1}{5 \times 10^3 \times10 \times 10^{-6}}=\dfrac{1}{0.05}=20 \Omega$
$\omega_2=10k rad/s$のとき$X_C＝\dfrac{1}{10 \times 10^3 \times10 \times 10^{-6}}=\dfrac{1}{0.1}=10 \Omega$
$\omega_3=30k rad/s$のとき$X_C＝\dfrac{1}{30 \times 10^3 \times10 \times 10^{-6}}=\dfrac{1}{0.3}=3.33 \Omega$

$\omega_1$のときのコイルに流れる電流は、$\dfrac{1}{5}＝j0.2A$
$\omega_1$のときのコンデンサに流れる電流は、$\dfrac{1}{20}＝－j0.05A$
よって、大きさは$I_1  \fallingdotseq 0.15A$

$\omega_2$のときのコイルに流れる電流は、$\dfrac{1}{10}＝j0.1A$
$\omega_2$のときのコンデンサに流れる電流は、$\dfrac{1}{10}＝－j0.1A$
よって、大きさは$I_2 \fallingdotseq 0A$ 

$\omega_3$のときのコイルに流れる電流は、$\dfrac{1}{30}＝j0.033A$
$\omega_3$のときのコンデンサに流れる電流は、$\dfrac{1}{3.33}＝－j0.3A$
よって、大きさは$I_3 \fallingdotseq 0.267A　$

電圧が実効値表示なので、電流も実効値として考えると

（3）$ I_2 \lt  I_1 \lt I_3$