令和元年(2019年) 電験三種 機械 問18

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そちらも見て下さい。

問18は論理関数に関する問題です。

 (b)について解いてみましょう。

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論理関数について，次の（a）及び（b）の問に答えよ。
（b）論理式$（X＋Y＋Z）・（X＋Y＋\overline{Z}）・（X＋\overline{Y}＋Z）$を和積形式で簡単化したものとして，正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
（1）$（X＋Y）・（X＋Z）$
（2）$（X＋\overline{Y}）・（X＋Z）$
（3）$（X＋Y）・（Y＋\overline{Z}）$
（4）$（X＋\overline{Y}）・（Y＋Z） $
（5）$（X＋Z）・（Y＋\overline{Z}）$

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解答 （a）：（2），（b）：（1）  

（b）論理式$（X＋Y＋Z）・（X＋Y＋\overline{Z}）・（X＋\overline{Y}＋Z）$を和積形式で簡単化したものとして，正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。

$（X＋Y＋Z）・（X＋Y＋\overline{Z}）$について考えると、

$A=X＋Y$とすると、

$（A＋Z）・（A＋\overline{Z}）$

$=A・A+（Z+\overline{Z}）・A＋Z・\overline{Z}$

$=A+A$

$=A=X+Y$となります。

これを使って次を解こうとすると、

$（X＋Y）・（X＋\overline{Y}＋Z）$

となり、答えの形になりそうにありません。

そこで、先ほど使った$A・A＝A$を逆に使います。

$（X＋Y＋Z）・（X＋Y＋\overline{Z}）・（X＋\overline{Y}＋Z）$

$（X＋Y＋Z）=（X＋Y＋Z）・（X＋Y＋Z）$を代入して

$=（X＋Y＋Z）・（X＋Y＋Z）・（X＋Y＋\overline{Z}）・（X＋\overline{Y}＋Z）$

とします。

$=（X＋Y＋Z）・（X＋Y＋\overline{Z}）・（X＋Y＋Z）・（X＋\overline{Y}＋Z）$

前半は先ほど計算した 

$（X＋Y＋Z）・（X＋Y＋\overline{Z}）=X+Y$

後半は

$（X＋Y＋Z）・（X＋\overline{Y}＋Z）$

$B=X+Z$とします。

$（B＋Y）・（B＋\overline{Y}）$

$=B・B+(Y+\overline{Y})・B+Y・\overline{Y}$

$=B+B$

$=B=X+Z$

まとめると、

（1）$（X＋Y）・（X＋Z）$

となります。

（a）論理式$X・Y・Z＋X・\overline{Y}・\overline{Z}＋\overline{X}・Y・Z＋X・\overline{Y}・Z$

$X・Y・Z＋\overline{X}・Y・Z=（X＋\overline{X}）・Y・Z=Y・Z$

$X・\overline{Y}・\overline{Z}＋X・\overline{Y}・Z=X・\overline{Y}・（\overline{Z}＋Z）=X・\overline{Y}$

よって、

$X・\overline{Y}+Y・Z$

(a)は素直に解けます。

定理としては

$A+\overline{A}=1$

を用いています。