平成30年(2018年) 電験三種 機械 問13

問13は制御に関する問題です。

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 問13

　図のようなブロック線図で示す制御系がある。出力信号$C(j \omega)$の入力信号$R(j \omega)$に対する比，すなわち$\dfrac{C(j \omega)}{R(j \omega)}$を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)	$$\dfrac{T_1+j \omega}{T_2+j \omega}$$
(2)	$$\dfrac{T_2+j \omega}{T_1+j \omega}$$
(3)	$$\dfrac{j \omega T_1}{1+j \omega T_2}$$
(4)	$$\dfrac{1+j \omega T_1}{1+j \omega T_2}$$
(5)	$$\dfrac{1+j \omega \dfrac{T_1}{T_2}}{1+j \omega T_2}$$

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答え　(4)

とおくと、以下の式が成り立ちます。
$z=\dfrac{T_1}{T_2} x$
$y=\dfrac{1}{j \omega T_2} x$
$x=R-y$
$z+y=C$

$z$を代入すると
$\dfrac{T_1}{T_2} x+y=C$

つぎに$y$を代入すると、次の２式になります。
$\dfrac{T_1}{T_2} x+\dfrac{1}{j \omega T_2} x=C$
$x=R-\dfrac{1}{j \omega T_2} x$

$x$でまとめると、

$x \left( \dfrac{T_1}{T_2} +\dfrac{1}{j \omega T_2} \right)=C$
$R=x \left(1+\dfrac{1}{j \omega T_2} \right)$

$x=\dfrac{R}{ 1+\dfrac{1}{j \omega T_2} }$として、この式を上側の式に代入すると

$\dfrac{R}{ 1+\dfrac{1}{j \omega T_2} } \left( \dfrac{T_1}{T_2} +\dfrac{1}{j \omega T_2} \right)=C$

$\dfrac{C}{R}=\dfrac{\dfrac{T_1}{T_2} +\dfrac{1}{j \omega T_2}}{ 1+\dfrac{1}{j \omega T_2} } $

分母分子に$j \omega T_2$をかけると
$\dfrac{C}{R}=\dfrac{1+j \omega T_1}{ 1+j \omega T_2 } $