平成30年(2018年)　電験三種　理論　問１ - 橋平礼の電験三種合格講座

いきなり大変面倒な問題です。

一つ一つ考えていきましょう。

ビデオや書籍でも学習しましょう。

次の文章は，帯電した導体球に関する記述である。

　真空中で導体球$A$及び$B$が軽い絶縁体の糸で固定点$O$からつり下げられている。真空の誘電率を$\epsilon_0 [F/m]$，重力加速度を$g[m/s^2]$とする。$A$及び$B$は同じ大きさと質量$m[kg]$をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点$O$から距離$l [m]$となる長さである。

　まず，導体球$A$及び$B$にそれぞれ電荷$Q[C],3Q[C]$を与えて帯電させたところ，静電力による[　（ア）　]が生じ，図のように$A$及び$B$の中心点間が$d[m]$離れた状態で釣り合った。ただし，導体球の直径はdに比べて十分に小さいとする。このとき，個々の導体球において，静電力$F=$[　（イ）　][N]，重力$mg$[N]，糸の張力$T$[N]，の三つの力が釣り合っている。三平方の定理より$F^2+(mg)^2=T^2$が成り立ち,張力の方向を考えると$\dfrac{F}{T}$は$\dfrac{d}{2l}$に等しい。

これらより$T$を消去し整理すると，$d$が満たす式として，

$$k \left( \dfrac{d}{2l}\right)^3=\sqrt{1-\left( \dfrac{d}{2l}\right)^2}$$

が導かれる。ただし，係数$k=$ [　（ウ）　]である。

　次に，$A$と$B$とを一旦接触させたところ$AB$間で電荷が移動し，同電位となった。そして$A$と $B$ とが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ，距離$d$は[　（エ）　]した。

　上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
（1）	反発力	$$\dfrac{3Q^2}{4 \pi \epsilon_0 d^2}$$	$$\dfrac{16 \pi \epsilon_0 l^2 mg}{3 Q^2}$$	増加
（2）	吸引力	$$\dfrac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 d^2}$$	$$\dfrac{4 \pi \epsilon_0 l^2 mg}{ Q^2}$$	増加
（3）	反発力	$$\dfrac{3Q^2}{4 \pi \epsilon_0 d^2}$$	$$\dfrac{4 \pi \epsilon_0 l^2 mg}{ Q^2}$$	増加
（4）	反発力	$$\dfrac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 d^2}$$	$$\dfrac{16 \pi \epsilon_0 l^2 mg}{3 Q^2}$$	減少
（5）	吸引力	$$\dfrac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 d^2}$$	$$\dfrac{4 \pi \epsilon_0 l^2 mg}{ Q^2}$$	減少

答え　(1)

[　ア　]　同種に帯電しているので、「反発力」

[　イ　]　
$F=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \dfrac{Q_1 Q_2}{r^2}$となるので、
$F=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \dfrac{Q \times 3 Q}{d^2}$
$=\dfrac{3Q^2}{4 \pi \epsilon_0 d^2}$

[　エ　]

$A$と$B$とを一旦接触させると、同じ電荷$2Q$となるので、
$F=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \dfrac{2Q \times 2Q}{d^2}$
$=\dfrac{4Q^2}{4 \pi \epsilon_0 d^2}$
となり、反発力が増加するので、

距離$d$は「増加」する

[　ウ　]

$F^2+(mg)^2=T^2$$および$$\dfrac{F}{T}=\dfrac{d}{2l}$より
$T=F \dfrac{2l}{d}$
これを代入すると
$F^2+(mg)^2=\left( F \dfrac{2l}{d} \right)^2$
$(mg)^2=\left( F \dfrac{2l}{d} \right)^2-F^2$
$(mg)^2=F^2 \left( \dfrac{2l}{d} \right)^2-1$
$\dfrac{ (mg)^2}{F^2}= \dfrac{4l^2}{d^2}-1$

$F=X \cdot \dfrac{3Q^2}{d^2}$とすると$X=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}$
$\dfrac{ (mg)^2}{\left( X \cdot \dfrac{3Q^2}{d^2} \right)^2}= \dfrac{4l^2}{d^2}-1$

$\left( \dfrac{ mg}{ X \cdot {3Q^2}} \right)^2\cdot d^4= \dfrac{4l^2}{d^2}-1$

両辺に$\dfrac{d^2}{4l^2}$をかけると

$\left( \dfrac{ mg}{ X \cdot {3Q^2}} \right)^2\cdot \dfrac{d^6}{4l^2}= 1-\left( \dfrac{d}{2l} \right)^2$

$\left( \dfrac{ mg}{ X \cdot {3Q^2}} \right)^2\cdot (2l)^4 \cdot \left( \dfrac{d}{2l} \right)^6= 1-\left( \dfrac{d}{2l} \right)^2$

$\left( \dfrac{ mg (2l)^2}{ X \cdot {3Q^2}} \right)^2 \cdot \left( \dfrac{d}{2l} \right)^6= 1-\left( \dfrac{d}{2l} \right)^2$

$X=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}$より、

$\left( \dfrac{ 4 \pi \epsilon_0 mg (2l)^2}{ {3Q^2}} \right)^2 \cdot \left( \dfrac{d}{2l} \right)^6= 1-\left( \dfrac{d}{2l} \right)^2$

$\left( \dfrac{ 16 \pi \epsilon_0 mg l^2}{ {3Q^2}} \right)^2 \cdot \left( \dfrac{d}{2l} \right)^6= 1-\left( \dfrac{d}{2l} \right)^2$

両辺の平方根をとると

$\dfrac{16 \pi \epsilon_0 l^2 mg}{3 Q^2}　\left( \dfrac{d}{2 l} \right)^3=\sqrt{1-\left( \dfrac{d}{2 l} \right)^2}$

よって、
$k=\dfrac{16 \pi \epsilon_0 l^2 mg}{3 Q^2}$