数学の基礎と公式-24

数学の基礎と公式

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12. フーリエ級数-2

フーリエ級数は以下の式で計算するもとする。

$a_0=\dfrac{1}{2 \pi}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x) dx$
$a_n=\dfrac{1}{ \pi}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin nx dx$
$b_n=\dfrac{1}{ \pi}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos nx dx$
より計算する。
$f(x)=a_0+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}(a_n \sin nx+b_n \cos nx)$

※一般的には$a_n$と$b_n$が逆であり、$a_0$も異なっていることに注意

(11) $\displaystyle{}$

$f(x)=|\sin x|$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

偶関数(全波整流波)であり、

$a_0=\dfrac{2}{\pi}$
$a_n=0$
$b_n=-\dfrac{2((-1)^n+1)}{\pi(n-1)(n+1)}$

$\displaystyle{{{2}\over{\pi}}-\dfrac{2}{\pi}{{\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(\left(-1\right)^{
 n}+1\right)\,\cos \left(n\,x\right)}\over{\left(n-1\right)\,\left(n+
 1\right)}}}}}}$ 

$f(x)=\dfrac{2}{\pi}-\dfrac{4}{\pi} \left( \dfrac{1}{3}\cos 2x+\dfrac{1}{15}\cos 4x+\cdots  \right)$

(12)$f(x)= \begin{eqnarray} \left \lbrace\begin{array}{l}\sin x~(0\lt x) \\ 0~(x \lt 0)\end{array} \right.\end{eqnarray} ~(-\pi \lt x \lt \pi)$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

半波整流波であり、

$a_0=\dfrac{1}{\pi}$
$a_1=\dfrac{1}{2}$
$b_n=-\dfrac{(-1)^n+1}{\pi(n-1)(n+1)}$

$\displaystyle{f(x)={{1}\over{\pi}}+\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{1}{\pi}{{\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(\left(-1\right)^{n}+
 1\right)\,\cos \left(n\,x\right)}\over{\left(n-1\right)\,\left(n+1
 \right)}}}}}} $

$f(x)=\dfrac{1}{\pi}+\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{2}{\pi} \left( \dfrac{1}{3}\cos 2x+\dfrac{1}{15}\cos 4x+\cdots  \right)$