数学の基礎と公式-23

数学の基礎と公式

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12. フーリエ級数-1

フーリエ級数は以下の式で計算するもとする。

$a_0=\dfrac{1}{2 \pi}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x) dx$
$a_n=\dfrac{1}{ \pi}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin nx dx$
$b_n=\dfrac{1}{ \pi}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos nx dx$
より計算する。
$f(x)=a_0+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}(a_n \sin nx+b_n \cos nx)$

※一般的には$a_n$と$b_n$が逆であり、$a_0$も異なっていることに注意

(1) $\displaystyle{}$

$f(x)=x$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

奇関数であり、

$a_0=0$
$a_n=-\dfrac{2(-1)^n}{n}$
$b_n=0$

$\displaystyle{f(x)=-2\,\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}\,\sin \left(n\,x
 \right)}\over{n}}}}$

$f(x)=\displaystyle{2 \left(\sin x-\dfrac{\sin (2 x) }{2}+{{2\,\sin \left(3\,x\right)}\over{3}}-{{\sin \left(4\,x\right) }\over{2}}+{{2\,\sin \left(5\,x\right)}\over{5}} \cdots \right)} $

(2)$f(x)=1$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

$a_0=1$
$a_n=0$
$b_n=0$

$f(x)=1 $

(3)$f(x)= \begin{eqnarray} \left \lbrace\begin{array}{l}1~(0\lt x) \\ 0~(x \lt 0)\end{array} \right.\end{eqnarray} ~(-\pi \lt x \lt \pi)$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

$a_0=\dfrac{1}{2}$
$a_n=0$
$b_n=-\dfrac{(-1)^n-1}{\pi n}$

$\displaystyle{f(x)={{1}\over{2}}-\dfrac{1}{\pi} {{\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(\left(-1\right)^{n}-1
 \right)\,\sin \left(n\,x\right)}\over{n}}}}}}$

$\displaystyle{f(x)={{1}\over{2}}+{{2\,\sin x}\over{\pi}}+{{2\,\sin \left(3\,x
 \right)}\over{3\,\pi}} +{{2\,\sin \left(5\,x\right)}\over{5\,\pi}}}$

(4)$f(x)=|x|$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

偶関数である。

$a_0=\dfrac{\pi}{2}$
$a_n=0$
$b_n=-\dfrac{2((-1)^n-1)}{\pi n^2}$

$\displaystyle{f(x)=\dfrac{2}{{\pi}}{{\,\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(\left(-1\right)^{n}-1\right)\,
 \cos \left(n\,x\right)}\over{n^2}}}}}+{{\pi}\over{2}}}$

$\displaystyle{f(x)={{\pi}\over{2}}-{{4\,\cos x}\over{\pi}}-{{4\,\cos \left(3\,x
 \right)}\over{9\,\pi}}-{{4\,\cos \left(5\,x\right)}\over{25\,\pi}}}$

(5)$f(x)=x^2$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

偶関数である。

$a_0=\dfrac{\pi^2}{3}$
$a_n=0$
$b_n=-\dfrac{4(-1)^n}{ n^2}$

$\displaystyle{f(x)=4\,\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}\,\cos \left(n\,x
 \right)}\over{n^2}}}+{{\pi^2}\over{3}}}$

$\displaystyle{f(x)={{\pi^2}\over{3}} -4\,\cos x+\cos \left(2\,x
 \right)-{{4\,\cos \left(3\,x\right)}\over{9}}+{{\cos \left(4\,x\right)
 }\over{4}}-{{4\,\cos \left(5\,x\right)}\over{25}}}$ 

(6)$f(x)=x^3$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

奇関数である。

$a_0=0$
$a_n=-\dfrac{2(\pi^2n^2-6)(-1)^n}{n^3}$
$b_n=0$

$\displaystyle{f(x)=-2\,\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(\pi^2\,n^2-6\right)\,\left(-1
 \right)^{n}\,\sin \left(n\,x\right)}\over{n^3}}}}$

$\displaystyle{f(x)=2\,\left(\pi^2-6 \right)\,\sin x-{{\left(4 \,\pi^2-6\right)\,\sin \left(2\,x\right)}\over{4}}+{{2\, \left(9\,\pi^2-6\right)\,\sin \left(3\,x\right)}\over{27}}- {{\left(16\,\pi^2-6\right)\,\sin \left(4\,x\right)}\over{32}}+{{2\,\left(25\,\pi^2-6\right)\,\sin \left(5\,x\right)}\over{125}}}$ 

(7)$f(x)=|x^3|$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

偶関数である。

$a_0=\dfrac{\pi}{4}$
$a_n=0$
$b_n=\dfrac{6(\pi^2 n^2(-1)^n-2(-1)^n+2)}{\pi n^4}$

$\displaystyle{f(x)=\dfrac{6}{\pi}{{\,\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(\pi^2\,n^2\,\left(-1\right)^{n}-2
 \,\left(-1\right)^{n}+2\right)\,\cos \left(n\,x\right)}\over{n^4}}}
 }}+{{\pi^3}\over{4}}}$

$\displaystyle{f(x)={{\pi^3}\over{4}}+{{6\,\left(4-\pi^2\right)\,\cos x}\over{
 \pi}}+{{3\,\pi\,\cos 
 \left(2\,x\right)}\over{2}}+{{2\,\left(4-9\,\pi
 ^2\right)\,\cos \left(3\,x\right)}\over{27\,\pi}}+{{3\,\pi\,\cos \left(4\,x\right)}\over{8}}+  {{6\,\left(4-25\,\pi^2\right)\,\cos \left(5\,x\right)}\over{625\,
 \pi}}}$ 

(8)$f(x)=-x$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

奇関数である。

$a_0=0$
$a_n=\dfrac{2(-1)^n}{n}$
$b_n=0$

$\displaystyle{f(x)=2\,\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}\,\sin \left(n\,x
 \right)}\over{n}}}}$

$\displaystyle{f(x)=-2\,\sin x+\sin \left(2\,x
 \right)+{{\sin \left(4\,x\right)
 }\over{2}}-{{2\,\sin \left(3\,x\right)}\over{3}}-{{2\,\sin \left(5\,x\right)}\over{5}}}$

(9)$f(x)= \begin{eqnarray} \left \lbrace\begin{array}{l}-1~(0\lt x) \\ 0~(x \lt 0)\end{array} \right.\end{eqnarray} ~(-\pi \lt x \lt \pi)$で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

$a_0=-\dfrac{1}{2}$
$a_n=\dfrac{(-1)^n-1}{\pi n}$
$b_n=0$

$\displaystyle{f(x)=\dfrac{1}{\pi}{{\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(\left(-1\right)^{n}-1\right)\,\sin 
 \left(n\,x\right)}\over{n}}}}}-{{1}\over{2}}}$

$\displaystyle{f(x)=-{{1}\over{2}}-{{2\,\sin x}\over{\pi}}-{{2\,\sin \left(3\,x
 \right)}\over{3\,\pi}}-{{2\,\sin \left(5\,x\right)}\over{5\,\pi}}}$

(10)$f(x)=-|x| $で$x$の周期$-\pi<x<\pi$フーリエ級数は、

偶関数である。

$a_0=-\dfrac{\pi}{2}$
$a_n=0$
$b_n=-\dfrac{2((-1)^n-1)}{\pi n^2}$

$\displaystyle{f(x)=-\dfrac{2}{\pi}{{\,\sum_{n=1}^{\infty }{{{\left(\left(-1\right)^{n}-1\right)\,
 \cos \left(n\,x\right)}\over{n^2}}}}}-{{\pi}\over{2}}}$

$\displaystyle{f(x)=-{{\pi}\over{2}}+{{4\,\cos x}\over{\pi}}+{{4\,\cos \left(3\,x
 \right)}\over{9\,\pi}}+{{4\,\cos \left(5\,x\right)}\over{25\,\pi}}}$