令和4年(2022年) 上期 電験三種 理論 問8

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問8は、交流回路の問題です。

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　図のように，周波数$f $［$Hz $］の正弦波交流電圧$E $［$V $］の電源に，$R$[$\Omega $]の抵抗，インダクタンス$L$［$H $］のコイルとスイッチ$S $を接続した回路がある。スイッチ$S $が開いているときに回路が消費する電力［$W $］は，スイッチ$S $が閉じているときに回路が消費する電力［$W $］の$\dfrac{1}{2}$になった。このとき，$L $［$H $］の値を表す式として，正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。

（1）$2 \pi f R $（2）$\dfrac{R}{2 \pi f}$ （3）$\dfrac{2 \pi f}{R}$（4）$\dfrac{(2 \pi f)^2}{R}$ （5）$\dfrac{R}{ \pi f}$

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解答 （2）  

スイッチ$S$が閉じているときに回路が消費する電力$W_1$［$W$］は、

$W_1=\dfrac{E^2}{R}$

スイッチ$S$が開いているときに回路が消費する電力$W_2$［$W$］
インピーダンス$Z=R+j \omega L $

$W_2=RI^2=\dfrac{RE^2}{(R+j \omega L)^2}$

大きさなので

$=\dfrac{RE^2}{R^2+ \omega^2 L^2}$

これらから、

$\dfrac{W_2}{W_1}=\dfrac{\dfrac{RE^2}{R^2+ \omega^2 L^2}}{\dfrac{E^2}{R}}=\dfrac{1}{2}$

$=\dfrac{RE^2}{R^2+ \omega^2 L^2} \cdot \dfrac{R}{E^2}=\dfrac{1}{2}$

$2 R^2=R^2+\omega^2 L^2 $

$L=\dfrac{R}{\omega}=\dfrac{R}{2 \pi f}$

よって、（2） $\dfrac{R}{2 \pi f}$ となります。