令和3年(2021年) 電験三種 理論 問7
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問7は、最大電力の法則の問題です。
瞬殺できる問題です。
解いてみましょう。
図のように，起電力$E[V]$，内部抵抗$r[\Omega]$の電池$n$個と可変抵抗$R[\Omega]$を直列に接続した回路がある。この回路において，可変抵抗$R[\Omega]$で消費される電力が最大になるようにその値$[\Omega]$を調整した。このとき，回路に流れる電流$I$の値$[A]$を表す式として，正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
(1)$\dfrac{E}{R}$ (2)$\dfrac{nE}{\left( \dfrac{1}{n} +n \right)r}$ (3)$\dfrac{nE}{(1+n)r}$ (4)$\dfrac{E}{2 r}$ (5)$\dfrac{E}{ r}$
解答 （4）
最大電力の法則から$R=nr$となります。よって流れる電流は、起電力が$nE$より、次式で求めることができます。
$I=\dfrac{nE}{R+nr}=\dfrac{nE}{nr+nr}=\dfrac{E}{2r}[A]$
最大電力の法則を使わずに求めると、
$P=RI^2=R \left( \dfrac{nE}{R+nr}\right)^2$
$=R \left( \dfrac{(nE)^2}{(R+nr)^2}\right)$
$=R\left( \dfrac{(nE)^2}{R^2+2nrR+n^2 r^2}\right)$
$= \dfrac{(nE)^2}{R+2nr+\dfrac{n^2 r^2}{R}}$
$= \dfrac{(nE)^2}{(\sqrt{R})^2-4nr+\left( \dfrac{n^2 r^2}{\sqrt{R}} \right)+4nr}$
$= \dfrac{(nE)^2}{ \left(\sqrt{R}-\dfrac{n r}{\sqrt{R}} \right)^2+4nr}$
分母は、下に凸の二次関数になるので、電力の最大値は、$\sqrt{R}=\dfrac{n r}{\sqrt{R}},R=nr$のとき、$I=\dfrac{nE}{R+nr}=\dfrac{nE}{nr+nr}=\dfrac{E}{2r}[A]$
$P=\dfrac{(nE)^2}{4nr}$
