基礎から学ぶ制御工学-20-3.7.4

基礎から学ぶ制御工学

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　3.7.4　例題3（回転駆動剛体）

例題2と比較して違っているとことは、振り子の「ひも」が剛体に変わったところです。また、この剛体はモータで駆動します。図に示すように、剛体の質量$m$[kg]、剛体の長さ$2L$[m]、一様な剛体を考えているので重心は中心の$L$[m]にあるとします。また、モータで回転することを想定しているので、粘性抵抗$\mu $を考えます。
　速度は、$x$軸方向の速度と$y$軸方向の速度のベクトルの和になります。
$v^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2$                         ・・・(3.7.26)
図から、

$\begin{eqnarray}  \left \lbrace    \begin{array}{l}      x=L \sin \theta \\ y=-L \cos \theta \end{array}   \right.  \end{eqnarray}  $                      ・・・(3.7.27)

より、これを時間微分すると、傾き$\theta $は時間関数と考えられるので、次式のように、$x$軸方向の速度と$y$軸方向の速度が計算できます。
$\begin{eqnarray}  \left \lbrace    \begin{array}{l}      \dot{x}=L \dot{\theta} \cos \theta \\ \dot{y}=L \dot{\theta} \sin \theta \end{array}   \right.  \end{eqnarray}  $                          ・・・(3.7.28)

運動エネルギーは次式となります。
$T=\dfrac{1}{2} m (\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\dfrac{1}{2}J \dot{\theta}^2 $                ・・・(3.7.29)
ここで、$J$は振子の慣性モーメント$J=\dfrac{m L^2}{3}$
式(3.7.28)を代入すると

$=\dfrac{1}{2} m (L^2 \dot{\theta}^2 \cos^2 \theta+L^2 \dot{\theta}^2 \sin^2 \theta)+\dfrac{1}{2}J \dot{\theta}^2 $

$=\dfrac{1}{2} m L^2 \dot{\theta}^2 (\cos^2 \theta+ \sin^2 \theta)+\dfrac{1}{2}J \dot{\theta}^2 $

$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$より
$T=\dfrac{1}{2} m L^2 \dot{\theta}^2 +\dfrac{1}{2}J \dot{\theta}^2$                  ・・・(3.7.30)

角度$\theta$のときの位置エネルギーは次式で表されます。
$U=-mgL \cos \theta $                    ・・・(3.7.31)
剛体の粘性抵抗は次式となる。
$D=\dfrac{1}{2} \mu \dot{\theta}^2 $                             ・・・(3.7.32)
よって、ラグラジアンは
$L=T-U=\dfrac{1}{2} m L^2 \dot{\theta}^2 +\dfrac{1}{2}J \dot{\theta}^2+mgL \cos \theta $        ・・・(3.7.33)

式(3.7.2）$\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L_a}{\partial \dot{q_i}} \right)-\dfrac{\partial L_a}{\partial {q_i}}+\dfrac{\partial D}{\partial \dot{q_i}}=f_i$の第1項を計算すると、

 $\dfrac{d}{dt}  \left \lbrace \dfrac{\partial }{\partial \dot{\theta}} \left( \dfrac{1}{2} m L^2 \dot{\theta}^2 +\dfrac{1}{2}J \dot{\theta}^2+mgL \cos \theta \right) \right \rbrace$  

$=\dfrac{d}{dt}  \left(  m L^2 \dot{\theta} +J \dot{\theta} \right) $ 

$=(mL^2+J)\ddot{\theta}$                         ・・・(3.7.33)

式(3.7.2）の第2項を計算すると、

$\dfrac{\partial }{\partial {\theta}} \left(  \dfrac{1}{2} m L^2 \dot{\theta}^2 +\dfrac{1}{2}J \dot{\theta}^2+mgL \cos \theta \right) $ 

$=-mgL \sin \theta$                          ・・・(3.7.34)

式(3.7.2）の第3項を計算すると、
$\dfrac{\partial }{\partial {\dot{\theta}}} \left(  \dfrac{1}{2} \mu \dot{\theta}^2 \right) $       

$=\mu  \dot{\theta} $                  ・・・(3.7.35)

外部からの力をfとすると、
    $(mL^2+J)\ddot{\theta}+mgL \sin \theta+\mu  \dot{\theta}=f$        ・・・(3.7.36)

振り子の式(3.7.25)と違うところは、慣性モーメント$J $と粘性抵抗$\mu $があるところです。