令和3年(2021年) 電験三種 機械 問16
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問16は、パワーエレクトロニクスに関する問題です。
解いてみましょう。
次の文章は，単相半波ダイオード整流回路に関する記述である。
抵抗$R$とリアクトル$L$とを直列接続した負荷に電力を供給する単相半波ダイオード整流回路を図1に示す。また図1に示した回路の交流電源の電圧波形$v(t)$を破線で，抵抗$R$の電圧波形$v_R(t)$を実線で図2に示す。ただし，ダイオード$D$の電圧降下及びリアクトル$L$の抵抗は無視する。次の（a）及び（b）の問に答えよ。
ただし，必要であれば次の計算結果を利用してよい。
$\int_0^{\alpha} \sin \theta d \theta =1-\cos \alpha$
$\int_0^{\alpha} \cos \theta d \theta =\sin \alpha$
（a）以下の記述中の空白箇所（ア）～（エ）に当てはまる組合せとして，正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
図1の電源電圧$v(t) \gt 0$の期間においてダイオード$D$は順方向バイアスとなり導通する。$v(t)$と$v_R(t)$が等しくなる電源電圧$v(t)$の位相を$\omega t=\theta_m $とすると，出力電流$i_d(t)$が増加する電源電圧の位相$\omega t$が$0 \lt \omega t \lt \theta_m $の期間においては［ (ア) ］，の$\omega t=\theta_m $以降については［ (イ) ］となる。出力電流$i_d(t)$は電源電圧$v(t)$が負となっても$v(t)=0$の点よりも$\omega t=\beta$に相当する時間だけ長く流れ続ける。すなわち，$L$の磁気エネルギーが［ (ウ) ］となる$\omega t=\pi+\beta$で出力電流$i_d(t)$が$0$となる。出力電圧$v_d(t)$の平均値$V_d$は電源電圧$v(t)$を$0$～［ (エ) ］の区間で積分して一周期である$2 \pi$で除して計算でき，このとき$L$の電圧$v_L(t)$を同区間で積分すれば$0$となるので，$V_d$は抵抗$R$の電圧$v_R(t)$の平均値$V_R$に等しくなる。
| （ア） | （イ） | （ウ） | （エ） | |
|---|---|---|---|---|
| （１） | $v_L(t) \gt 0$ | $v_L(t) \lt 0$ | 0 | $\pi+\beta$ |
| （２） | $v_L(t) \lt 0$ | $v_L(t) \gt 0$ | 0 | $\pi+\beta$ |
| （３） | $v_L(t) \gt 0$ | $v_L(t) \lt 0$ | 最大 | $\pi+\beta$ |
| （４） | $v_L(t) \lt 0$ | $v_L(t) \gt 0$ | 最大 | $\beta$ |
| （５） | $v_L(t) \gt 0$ | $v_L(t) \lt 0$ | 0 | $\beta$ |
（b）小問（a）において，電源電圧の実効値$100V$，$\beta=\dfrac{\pi}{6}$のときの出力電圧$v_d(t)$の平均値$V_d[V]$として，最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
（1）3 （2）20 （3）42 （4）45 （5）90
解答(a)：(1)，(b)：(3)
（a）以下の記述中の空白箇所（ア）～（エ）に当てはまる組合せとして，正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
図1の電源電圧$v(t) \gt 0$の期間においてダイオード$D$は順方向バイアスとなり導通する。$v(t)=v_R(t)+v_L(t)$とおける。$v(t)$と$v_R(t)$が等しくなる電源電圧$v(t)$の位相を$\omega t=\theta_m $とすると，出力電流$i_d(t)$が増加する電源電圧の位相$\omega t$が$0 \lt \omega t \lt \theta_m $の期間においては$v(t) \gt v_R(t)$なので［ (ア)$v_L(t) \gt 0$ ］，の$\omega t=\theta_m $以降については$v(t) \lt v_R(t)$なので［ (イ) $v_L(t) \lt 0$ ］となる。出力電流$i_d(t)$は電源電圧$v(t)$が負となっても$v(t)=0$の点よりも$\omega t=\beta$に相当する時間だけ長く流れ続ける。すなわち，$L$の磁気エネルギーが［ (ウ)0 ］となる$\omega t=\pi+\beta$で出力電流$i_d(t)$が$0$となる。出力電圧$v_d(t)$の平均値$V_d$は電源電圧$v(t)$を$v_d(t) \gt 0$の範囲の$0$～［ (エ) $\pi+\beta$］の区間で積分して一周期である$2 \pi$で除して計算でき，このとき$L$の電圧$v_L(t)$を同区間で積分すれば$0$となるので，$V_d$は抵抗$R$の電圧$v_R(t)$の平均値$V_R$に等しくなる。
(b)
出力電圧$v_d(t)$の平均値$V_d$は電源電圧$v(t)$を$0$～$\pi+\beta$の区間で積分して一周期である$2 \pi$で除して計算できるので、
$\int_0^{\frac{7}{6}\pi} \sin \theta d \theta=1-\cos \dfrac{7}{6}\pi=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1.866$
よって、平均値$V_d$は次のように求められます。
$V_d=\dfrac{100 \sqrt{2}}{2\pi}\int_0^{\frac{7}{6}\pi} \sin \theta d \theta=\dfrac{100 \sqrt{2} \times 1.866}{2 \pi}=42.0 V$
