令和元年(2019年) 電験三種 理論 問15
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問15は点電荷の問題です。
(b)はまともに解くと大変かもしれません。
解いてみましょう。
図のように，平らで十分大きい導体でできた床から高さ$h［m］$の位置に正の電気量$Q［C］$をもつ点電荷がある。次の（a）及び（b）の問に答えよ。ただし，点電荷から床に下ろした垂線の足を点$O$，床より上側の空間は真空とし，床の導体は接地されている。真空の誘電率を$\epsilon_0［F/m］$とする。
（a）床より上側の電界は，点電荷のつくる電界と，床の表面に静電誘導によって現れた面電荷のつくる電界との和になる。床より上側の電気力線の様子として，適切なものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
（b）点電荷は床表面に現れた面電荷から鉛直方向の静電吸引力$F［N］$を受ける。その力は床のない状態で点$O$に固定した電気量$-\dfrac{Q}{4}$［C］の点電荷から受ける静電力に等しい。$F［N］$に逆らって，点電荷を高さ$h［m］$から$z［m］$（ただし$h \lt z$）まで鉛直方向に引き上げるのに必要な仕事$W［J］$を表す式として，正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
（1）$\dfrac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 z^2}$
（2）$\dfrac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 } \left( \dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{z}\right)$
（3）$\dfrac{Q^2}{16 \pi \epsilon_0 } \left( \dfrac{1}{h}-\dfrac{1}{z}\right)$
（4）$\dfrac{Q^2}{16 \pi \epsilon_0 z^2}$
（5）$\dfrac{Q^2}{ \pi \epsilon_0 } \left( \dfrac{1}{h^2}-\dfrac{1}{z^2}\right)$
解答 （a）：（5），（b）：（3）
（a）床より上側の電界は，点電荷のつくる電界と，床の表面に静電誘導によって現れた面電荷のつくる電界との和になる。床より上側の電気力線の様子は、
電荷Qは正の電荷なので、電荷Qから電気力線が出ていく、この際、電気力線は（３）のように直線状にはならず、電気力線は床面に鉛直な向きの力が働くと考えれば良いので、（5）のように床面に垂直になるように描くことができる。（2）のように、垂直より大きく曲がらない。
（b）$F［N］$に逆らって，点電荷を高さ$h［m］$から$z［m］$（ただし$h \lt z$）まで鉛直方向に引き上げるのに必要な仕事$W［J］$は、$h$から$z$までの力を$F（x）$とすると、次のような式となる。$h$から$z$までの力は一定でなく距離の$２$乗に反比例する。
$F(x)=\dfrac{Q^2}{16 \pi \epsilon_0 } \dfrac{1}{x^2}$
ここで、鉛直方向に引き上げるのに必要な仕事$W［J］$は、$h$から$z$まで$x$について積分すれば良いので、
$\int_h^z F(x) dx=\int_h^z \dfrac{Q^2}{16 \pi \epsilon_0 } \dfrac{1}{x^2} dx$
$=\dfrac{Q^2}{16 \pi \epsilon_0 } \left[- \dfrac{1}{x} \right]_h^z $
$=\dfrac{Q^2}{16 \pi \epsilon_0 } \left(- \dfrac{1}{z} +\dfrac{1}{h} \right)$
$=\dfrac{Q^2}{16 \pi \epsilon_0 } \left( \dfrac{1}{h}- \dfrac{1}{z} \right)$
