電験三種の電気数学-4

amazon　kindle版の「電験三種の電気数学」に関する本を出版しました。

そちらも見て下さい。

数字の基礎、今回は平方根です。

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(1)平方根
　平方根は2乗して$x$になる数を、$x$の平方根と呼びます。
例えば4の平方根は$\pm 2$となります。

$(-2)^2=4$,

$ 2^2=4$

ただし、$\sqrt{4}=2$となり、正の数だけです。
また、$\sqrt{0}=0$と定義されます。
平方根の一般的な性質は次のようになります。

①$\sqrt{x^2}=\vert x \vert $より
　$ x \geqq 0$のとき　$x$
　$x \lt 0$のとき　$-x$

②$(\sqrt{x})^2= x  $（$ x \geqq 0$のとき）

③$\sqrt{x} \sqrt{y}=\sqrt{xy}$（$ x \geqq 0，y \geqq 0$のとき）
$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\dfrac{x}{y}} $（$ x \geqq 0，y \gt 0$のとき）

(2)二重根号
$\sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}=\sqrt{x} +\sqrt{y}$　($x \gt 0 ,  y \gt 0$)
$\sqrt{x+y-2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}- \sqrt{y}$　($x \gt y \gt 0$)

①$X=\sqrt{x},Y=\sqrt{y}$とおくと、
($x \gt  0, y \gt 0$より$X \gt 0,Y \gt 0$)

 $x+y+2 \sqrt{xy}=X^2+Y^2+2 XY=(X+Y)^2$

$\sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}=\sqrt{(X+Y)^2}=X+Y=\sqrt{x} +\sqrt{y}$

②$X=\sqrt{x},Y=\sqrt{y}$とおくと、

($x \gt y \gt 0$より$X \gt Y \gt 0$)

 $x+y-2 \sqrt{xy}=X^2-Y^2+2 XY=(X-Y)^2$

$\sqrt{x+y-2\sqrt{xy}}=\sqrt{(X-Y)^2}=X-Y=\sqrt{x} -\sqrt{y}$

(３)複素数
　$i^2=-1$で表される数が虚数になります。平方根で記述すると、$\sqrt{-1
}$となり、変数$x$の場合の虚数は$\sqrt{-x}=x i $($x \gt 0$)となります。
　※数学では虚数は$i$で表されますが、電気工学では虚数は$j$で表します。これは電気工学では$i$は電流の瞬時値で表し、この電流$i$と混同しないようにするためです。以降虚数は$j$で表します。

　複素数は$a+bj$（$a$、$b$は実数）の形で表され、$a$が実部、$b i$は虚部と呼ばれています。また、$a+bj$に対して$a-bj$を共役(きょうやく)な複素数と呼んでいます。

$a+bj+c+dj=a+c+(b+d)j$
$a+bj-(c+dj)=a-c+(b-d)j$
$(a+bj)(c+dj)=ac-bd+(bc+ad)j$

$\dfrac{a+bj}{c+dj}=\dfrac{(a+bj)(c-di)}{(c+dj)(c-di)}=\dfrac{ac+bd+(bc-ad)j}{c^2+d^2}$

（$a,b,c,d$は実数）
　通常、分母の複素数は共役な複素数をかけて実数にします。