数学の基礎と公式-3
数学の基礎と公式
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3. 三角関数 続き
(1)$\sin j x=\dfrac{1}{2} j (e^x-e^{-x})=j \sin h x$
(2)$\cos j x=\dfrac{1}{2} (e^x+e^{-x})= \cos h x$
(3)$\tan j x=\dfrac{\dfrac{1}{2} j (e^x-e^{-x})}{\dfrac{1}{2} (e^x+e^{-x})}=j \tan h x$
(4) $e^{jx}=\cos x+j \sin x$
マクローリン展開すると
$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!} \cdots$
$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!} \cdots$
$e^x=1+\dfrac{x^1}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!} \cdots$
この式を少し変形すると
$e^{jx}=1+\dfrac{(j x)^1}{1!}+\dfrac{(j x)^2}{2!}+\dfrac{(j x)^3}{3!}+ \dfrac{(j x)^4}{4!}+ \dfrac{(j x)^5}{5!}\cdots$
$=\left(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!} \cdots \right)+j \left( x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!} \cdots\right)$
$=\cos x+j \sin x$
$\tan x=x+{\dfrac{x^3}{3}}+{\dfrac{2 x^5}{15}}+{\dfrac{17 x^7}{315}}+{\dfrac{62 x ^9}{2835}}+{\dfrac{1382 x^{11}}{155925}}+\cdots $
$cosec x={\dfrac{1}{x}}+{\dfrac{x}{6}}+{\dfrac{7 x^3}{360}}+{\dfrac{31 x^5}{ 15120}}+{\dfrac{127 x^7}{604800}}+{\dfrac{73 x^9}{3421440}}+\cdots $
$\sec x=1+{\dfrac{x^2}{2}}+{\dfrac{5 x^4}{24}}+{\dfrac{61 x^6}{720}}+{\dfrac{277 x^8}{8064}}+{\dfrac{50521 x^{10}}{3628800}}+\cdots $
$\cot x={\dfrac{1}{x}}-{\dfrac{x}{3}}-{\dfrac{x^3}{45}}-{\dfrac{2x^5}{945}}- {\dfrac{x^7}{4725}}-{\dfrac{2x^9}{93555}}+\cdots $
$\sin (x+a)\\=\sin a+x\cos a-{\dfrac{x^2 \sin a} {2}}-{\dfrac{x^3 \cos a} {6}}+{\dfrac{x^4 \sin a} {24}}+{\dfrac{x^5\cos a} {120}}+\cdots $
$\cos (x+a)\\=\cos a-x \sin a -{\dfrac{x^2\cos a } {2}}+{ \dfrac{x^3\sin a } {6}}+{ \dfrac{x^4 \cos a } {24}}-{ \dfrac{x^5 \sin a } {120}}+\cdots $
逆三角関数
(1)$\sin ^{-1}(\sin ^{-1} x)=x, ~~ \cos ^{-1}(\cos ^{-1} x)=x, ~~ \tan ^{-1}(\tan ^{-1} x)=x$
(2)$\sin ^{-1} x+\cos ^{-1}=\dfrac{\pi}{2},~~~\tan ^{-1} x+\cot ^{-1}=\dfrac{\pi}{2}$
(3)$\sin ^{-1} x=\cos ^{-1} \sqrt{1 -x^2}=\tan{-1} \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\pi$を求める公式
(4)$4 \tan^{-1} \dfrac{1}{5}-\tan^{-1} \dfrac{1}{239}=\dfrac{\pi}{4}$・・・マチンの公式
(5)$ \tan^{-1} \dfrac{1}{2}+\tan^{-1} \dfrac{1}{3}=\dfrac{\pi}{4}$・・・オイラーの公式
(6)$ 12 \tan^{-1} \dfrac{1}{18}+8 \tan^{-1} \dfrac{1}{57}-5 \tan^{-1} \dfrac{1}{239}=\dfrac{\pi}{4}$・・・ガウスの公式
(7)$ 2\tan^{-1} \dfrac{1}{3}+\tan^{-1} \dfrac{1}{7}=\dfrac{\pi}{4}$・・・ハットンの公式
他にもあります。
