数学の基礎と公式-1
数学の基礎と公式
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1. 数と式
1.1 単項式と多項式
単項式は次に示すような、数字や文字、文字と数字を掛け合わせたものです。
$5 , x^2 , xyz^2$
多項式は次に示すような、単項式を足したり引いたりしたものとなります。
$x^2+8x+12 , y^2+6xy+9x^2$
多項式と単項式を合わせて整式と呼びます。
1.2 同類項
多項式の文字と次数が等しい項を同類項と呼びます。
$ x^2+5x+3x^2+7x+8$
という多項式において、同類項は
$x^2$と$3x^2$ $5x$と$7x$
になります。
1.3 交換・分配・結合法則
多項式の計算は次の法則を用います。
・交換の法則
$x+y=y+x$
$xy=yx$
・分配の法則
$x(y+z)=xy+xz$
・結合の法則
$(x+y)+z=x+(y+z)$
$(xy)z=x(yz)$
1.4 因数分解と展開の公式
(1)$xy+xz=(y+z)x$
(2)$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
(3)$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$
(4)$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
(5)$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$
(6)$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
(7)$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^2$
(8)$x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx=(x+y-z)^2$
(9)$x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2zx=(x-y+z)^2$
(10)$x^3+ y^3+z^3+ 6 x y z + 3 x ^2 y + 3 x ^2 z + 3 x y ^2 + 3 y^2 z + 3 y z^2 + 3 x z^2 \\ = (x+y+z)^3$
(11)$ x^2 + y ^2 +z^2 + w ^2 + 2 x y + 2 x z+ 2 y z +2 w x+ 2 w y+ 2 w z \\ =(x+y+z+w)^2$
(12)$(- y )^3 + x y^2 - x^2 y + x^3=\dfrac{x^4-y^4}{x+y}=(x^2+y^2)(x-y)$
(13)$ y^3 + x y^2 + x^2 y + x^3=\dfrac{x^4-y^4}{x+y}=(x^2+y^2)(x+y)$
(14)$ (y^4 + x y^3 + x^2 y^2 + x ^3 y + x^4) (x-y)=(x^5-y^5)$
(15)$ (y^4 - x y^3 + x^2 y^2 - x ^3 y + x^4) (x+y)=(x^5+y^5)$
(16)$x^4+x^2y^2+y^4=(x^2 - x y + y^2 ) (x^2 + x y + y^2 ) $
(17)$(zx+wy)^2+(zy-wx)^2 \\ =y^2 z ^2 + x^2 z^2 + w^2 y^2 + w^2 x^2 \\ =(y ^2 + x^2 ) (z ^2 + w ^2) $
(18)$(zx+wy)^2-(zy+wx)^2 \\ =z^2 x^2 - w^2 x^2 - z^2 y^2 + w^2 y^2 \\ = (z - w) (z + w) (x - y) (x + y) $
(19)$y x^2 + z x^2 + y^2 x + 2 z y x + z^2 x + z y^2 + z^2 y \\ =(x+y)(y+z)(z+x)$
(20)$ (- y x^2 ) + z x ^2 + y^2 x - z ^2 x - z y^2 + z^2 y \\ =(x-y)(y-z)(z-x) $
(21)$x^3+y^3+z^3-3xyz=\dfrac{1}{2} (x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}$
(22)$(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)$
(23)$x^4 - 2 y^2 x^2 - 2 z^2 x ^2 + y^4 - 2 z^2 y^2 + z ^4\\=-(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)$
(24)$(x+y+z)^5-(x^5+y^5+z^5)\\=5 (y + z) (x + z) (x + y) (x ^2 + y x + z x + y^2 + z y + z^2 ) $
(25)$x^4+x^2 y^2+y^4=(x^2 - y x + y ^2) (x^2 + y x + y^2 )$
