橋平礼の電験三種合格講座

過去50年分以上の電験三種の問題を解いて分かった、電験三種は今も昔も変わりません。過去問を解きながら合格を目指しましょう。

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数学の基礎と公式-9

数学の基礎と公式

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9. 不定積分-5 三角関数双曲線関数(積分定数Cは省略しています。)

※$\log x$の$x$の箇所には絶対値がつきます。$\log |x|$

 

(1)$\displaystyle{}$

\displaystyle{\int \sin x \sinh x dx=\dfrac{1}{2}(\sin x \cosh x-\cos x \sinh x)}

\displaystyle{\int \sin x \cosh x dx=\dfrac{1}{2}(\sin x \sinh x-\cos x \cosh x)}

\displaystyle{\int \cos x \sinh x dx=\dfrac{1}{2}(\sin x \sinh x+\cos x \cosh x)}

\displaystyle{\int \cos x \cosh x dx=\dfrac{1}{2}(\sin x \cosh x+\cos x \sinh x)}

(2)

\displaystyle{\int {\rm asinh} \,x\, dx=x\,{\rm asinh}\; x-\sqrt{x^2+1}}

\displaystyle{\int {\rm acosh}\, x\, dx=x\,{\rm acosh}\; x-\sqrt{x^2-1}}

\displaystyle{\int {\rm atanh}\, x\, dx={{\log \left(1-x^2\right)}\over{2}}+x\,{\rm atanh}\; x}

 

\displaystyle{\int x\, {\rm asinh} \,x dx=-{{\left(-2\,x^2-1\right)\,{\rm asinh}\; x+x\,\sqrt{x^2+1}}\over{4 }}}

\displaystyle{\int x\, {\rm acosh}\, x dx}

\displaystyle{=-{{\log \left(2\,\sqrt{x^2-1}+2\,x\right)-2\,x^2\,{\rm acosh}\; x+x \,\sqrt{x^2-1}}\over{4}}}

\displaystyle{\int x\, {\rm atanh}\, x dx}

\displaystyle{=-{{\log \left(x+1\right)-2\,x^2\,{\rm atanh}\; x-2\,x-\log \left(x- 1\right)}\over{4}}}

 

\displaystyle{\int x^2\, {\rm asinh} \,x dx=-{{\left(x^2-2\right)\,\sqrt{x^2+1}-3\,x^3\,{\rm asinh}\; x}\over{9 }}}

\displaystyle{\int x^2\, {\rm acosh}\, x dx}

\displaystyle{=-{{\sqrt{x^2-1}\,\left(x^2+2\right)-3\,x^3\,{\rm acosh}\; x}\over{9 }}}

\displaystyle{\int x^2\, {\rm atanh}\, x dx}

\displaystyle{={{\log \left(x^2-1\right)+2\,x^3\,{\rm atanh}\; x+x^2}\over{6}}}

 

\displaystyle{\int x^3\, {\rm asinh} \,x dx}

=\displaystyle{-{{\left(3-8\,x^4\right)\,{\rm asinh}\; x+\sqrt{x^2+1}\,\left(2\,x^ 3-3\,x\right)}\over{32}}}

\displaystyle{\int x^3\, {\rm acosh}\, x dx}

\displaystyle{=-{{3\,\log \left(2\,\sqrt{x^2-1}+2\,x\right)-8\,x^4\,{\rm acosh}\;  x+\sqrt{x^2-1}\,\left(2\,x^3+3\,x\right)}\over{32}}}

\displaystyle{\int x^3\, {\rm atanh}\, x dx}

\displaystyle{=-{{3\,\log \left(x+1\right)-6\,x^4\,{\rm atanh}\; x-2\,x^3-6\,x-3\, \log \left(x-1\right)}\over{24}}}

 

(3)

\displaystyle{\int \dfrac{1}{\sinh y+\sinh x}\, x dx}

\displaystyle{={{2\,e^{y}\,\log \left(-e^ {- x }\,\left(e^{y+x}-1\right)\right)-2 \,e^{y}\,\log \left(e^ {- x }\,\left(e^{y}+e^{x}\right)\right) }\over{e^{2\,y}+1}}}

\displaystyle{\int \dfrac{1}{\cosh y+\cosh x}\, x dx}

\displaystyle{={{2\,e^{y}\,\log \left(e^ {- x }\,\left(e^{y+x}+1\right)\right)-2\, e^{y}\,\log \left(e^ {- x }\,\left(e^{y}+e^{x}\right)\right)}\over{e ^{2\,y}-1}}}

\displaystyle{\int \dfrac{1}{\tanh y+\tanh x}\, x dx}

\displaystyle{={{e^ {- 2\,y }\,\left(\left(e^{4\,y}+2\,e^{2\,y}+1\right)\,\log  \left(e^ {- x }\,\left(e^{y+x}+1\right)\right)+\left(e^{4\,y}+2\,e^{ 2\,y}+1\right)\,\log \left(-e^ {- x }\,\left(e^{y+x}-1\right)\right) +2\,x\,e^{2\,y}+2\,x\right)}\over{4}}}